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Cell decomposition for semi-affine structures on p-adic fields
We use cell decomposition techniques to study additive reducts of p- adic
fields. We consider a very general class of fields, including fields with
infinite residue fields, which we study using a multi-sorted language. The
results are used to obtain cell decomposition results for the case of finite
residue fields. We do not require fields to be Henselian, and we allow them to
be of any characteristic.Comment: 22 page
Anneaux p-adiquement clos et anneaux de fonctions définissables
Nous considérons des théories d'anneaux locaux reliées aux corps p-adiques, p un nombre premier. Dans le §1 nous établissons les axiomatisations données dans [B1], ainsi qu'une autre axiomatisation des anneaux apparaissant dans [R1]. Il s'agit d'anneaux locaux henséliens dont le corps résiduel est élémentairement équivalent à une extension finie d'un corps p-adique. Nous les appelons anneaux locaux p-adiquement clos. Dans le contexte de [R1] et [B1] ils apparaissent comme fibres du faisceau structural (aussi appelé faisceau de Nash dans [BS]) accompagnant les spectres p-adiques. L'intérêt de nos axiomatisations provient de la simplicité des axiomes qui rendent compte des propriétés henséliennes. Dans le §2 nous donnons une axiomatisation d'une théorie d'anneaux locaux qui apparaît naturellement dans le contexte de la théorie des modèles des corps valués, et se trouve être une complétion d'une théorie du §1. Nous appelons ces anneaux, anneaux intègres p-adiquement clos.\ud
\ud
Dans le §3 nous utilisons §2 pour montrer que les anneaux intègres p-adiquement clos apparaissent aussi comme anneaux quotients d'anneaux de fonctions continues définissables sur les courbes affines p-adiques. Nous représentons alors un idéal premier comme le noyau d'un morphisme d'évaluation en un point non-standard de la courbe. Le spectre p-adique fournit un outil commode qui permet de décrire la situation de façon concise
Trees of definable sets over the p-adics
To a definable subset of Z_p^n (or to a scheme of finite type over Z_p) one
can associate a tree in a natural way. It is known that the corresponding
Poincare series P(X) = \sum_i N_i X^i is rational, where N_i is the number of
nodes of the tree at depth i. This suggests that the trees themselves are far
from arbitrary. We state a conjectural, purely combinatorial description of the
class of possible trees and provide some evidence for it. We verify that any
tree in our class indeed arises from a definable set, and we prove that the
tree of a definable set (or of a scheme) lies in our class in three special
cases: under weak smoothness assumptions, for definable subsets of Z_p^2, and
for one-dimensional sets.Comment: 33 pages, 1 figur