Simulation of Piecewise Smooth Differential Algebraic Equations with Application to Gas Networks

Zuweilen wird gefördertes Erdgas als eine Brückentechnologie noch eine Weile erhalten bleiben, aber unsere Gasnetzinfrastruktur hat auch in einer Ära post-fossiler Brennstoffe eine Zukunft, um Klima-neutral erzeugtes Methan, Ammoniak oder Wasserstoff zu transportieren. Damit die Dispatcher der Zukunft, in einer sich fortwährend dynamisierenden Marktsituation, mit sich beständig wechselnden Kleinstanbietern, auch weiterhin einen sicheren Gasnetzbetrieb ermöglichen und garantieren können, werden sie auf moderne, schnelle Simulations- sowie performante Optimierungstechnologie angewiesen sein. Der Schlüssel dazu liegt in einem besseren Verständnis zur numerischen Behandlung nicht differenzierbarer Funktionen und diese Arbeit möchte einen Beitrag hierzu leisten. Wir werden stückweise differenzierbare Funktionen in sog. Abs-Normalen Form betrachten. Durch einen Prozess, der Abs-Linearisierung genannt wird, können wir stückweise lineare Approximationsmodelle erster Ordnung, mittels Techniken der algorithmischen Differentiation erzeugen. Jene Modelle können über Matrizen und Vektoren mittels gängiger Software-Bibliotheken der numerischen linearen Algebra auf Computersystemen ausgedrückt, gespeichert und behandelt werden. Über die Generalisierung der Formel von Faà di Bruno können auch Splinefunktionen höherer Ordnung generiert werden, was wiederum zu Annäherungsmodellen mit besserer Güte führt. Darauf aufbauend lassen sich gemischte Taylor-Kollokationsmethoden, darunter die mit Ordnung zwei konvergente generalisierte Trapezmethode, zur Integration von Gasnetzen, in Form von nicht glatten Algebro-Differentialgleichungssystemen, definieren. Numerische Experimente demonstrieren das Potential. Da solche implizite Integratoren auch nicht lineare und in unserem Falle zugleich auch stückweise differenzierbare Gleichungssysteme erzeugen, die es als Unterproblem zu lösen gilt, werden wir uns auch die stückweise differenzierbare, sowie die stückweise lineare Newtonmethode betrachten.As of yet natural gas will remain as a bridging technology, but our gas grid infrastructure does have a future in a post-fossil fuel era for the transportation of carbon-free produced methane, ammonia or hydrogen. In order for future dispatchers to continue to enable and guarantee safe gas network operations in a continuously changing market situation with constantly switching micro-suppliers, they will be dependent on modern, fast simulation as well as high-performant optimization technology. The key to such a technology resides in a better understanding of the numerical treatment of non-differentiable functions and this work aims to contribute here. We will consider piecewise differentiable functions in so-called abs-normal form. Through a process called abs-linearization, we can generate piecewise linear approximation models of order one, using techniques of algorithmic differentiation. Those models can be expressed, stored and treated numerically as matrices and vectors via common software libraries of numerical linear algebra. Generalizing the Faà di Bruno's formula yields higher order spline functions, which in turn leads to even higher order approximation models. Based on this, mixed Taylor-Collocation methods, including the generalized trapezoidal method converging with an order of two, can be defined for the integration of gas networks represented in terms of non-smooth system of differential algebraic equations. Numerical experiments will demonstrate the potential. Since those implicit integrators do generate non-linear and, in our case, piecewise differentiable systems of equations as sub-problems, it will be necessary to consider the piecewise differentiable, as well as the piecewise linear Newton method in advance

Solving Constrained Piecewise Linear Optimization Problems by Exploiting the Abs-linear Approach

In dieser Arbeit wird ein Algorithmus zur Lösung von endlichdimensionalen Optimierungsproblemen mit stückweise linearer Zielfunktion und stückweise linearen Nebenbedingungen vorgestellt. Dabei wird angenommen, dass die Funktionen in der sogenannten Abs-Linear Form, einer Matrix-Vektor-Darstellung, vorliegen. Mit Hilfe dieser Form lässt sich der Urbildraum in Polyeder zerlegen, so dass die Nichtglattheiten der stückweise linearen Funktionen mit den Kanten der Polyeder zusammenfallen können. Für die Klasse der abs-linearen Funktionen werden sowohl für den unbeschränkten als auch für den beschränkten Fall notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen bewiesen, die in polynomialer Zeit verifiziert werden können. Für unbeschränkte stückweise lineare Optimierungsprobleme haben Andrea Walther und Andreas Griewank bereits 2019 mit der Active Signature Method (ASM) einen Lösungsalgorithmus vorgestellt. Aufbauend auf dieser Methode und in Kombination mit der Idee der aktiven Mengen Strategie zur Behandlung von Ungleichungsnebenbedingungen entsteht ein neuer Algorithmus mit dem Namen Constrained Active Signature Method (CASM) für beschränkte Probleme. Beide Algorithmen nutzen die stückweise lineare Struktur der Funktionen explizit aus, indem sie die Abs-Linear Form verwenden. Teil der Analyse der Algorithmen ist der Nachweis der endlichen Konvergenz zu lokalen Minima der jeweiligen Probleme sowie die Betrachtung effizienter Berechnung von Lösungen der in jeder Iteration der Algorithmen auftretenden Sattelpunktsysteme. Die numerische Performanz von CASM wird anhand verschiedener Beispiele demonstriert. Dazu gehören akademische Probleme, einschließlich bi-level und lineare Komplementaritätsprobleme, sowie Anwendungsprobleme aus der Gasnetzwerkoptimierung und dem Einzelhandel.This thesis presents an algorithm for solving finite-dimensional optimization problems with a piecewise linear objective function and piecewise linear constraints. For this purpose, it is assumed that the functions are in the so-called Abs-Linear Form, a matrix-vector representation. Using this form, the domain space can be decomposed into polyhedra, so that the nonsmoothness of the piecewise linear functions can coincide with the edges of the polyhedra. For the class of abs-linear functions, necessary and sufficient optimality conditions that can be verified in polynomial time are given for both the unconstrained and the constrained case. For unconstrained piecewise linear optimization problems, Andrea Walther and Andreas Griewank already presented a solution algorithm called the Active Signature Method (ASM) in 2019. Building on this method and combining it with the idea of the Active Set Method to handle inequality constraints, a new algorithm called the Constrained Active Signature Method (CASM) for constrained problems emerges. Both algorithms explicitly exploit the piecewise linear structure of the functions by using the Abs-Linear Form. Part of the analysis of the algorithms is to show finite convergence to local minima of the respective problems as well as an efficient solution of the saddle point systems occurring in each iteration of the algorithms. The numerical performance of CASM is illustrated by several examples. The test problems cover academic problems, including bi-level and linear complementarity problems, as well as application problems from gas network optimization and inventory problems

Nonlinear Model Predictive Control for Motion Generation of Humanoids

Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung und Entwicklung numerischer Methoden zur Bewegungserzeugung von humanoiden Robotern basierend auf nichtlinearer modell-prädiktiver Regelung. Ausgehend von der Modellierung der Humanoiden als komplexe Mehrkörpermodelle, die sowohl durch unilaterale Kontaktbedingungen beschränkt als auch durch die Formulierung unteraktuiert sind, wird die Bewegungserzeugung als Optimalsteuerungsproblem formuliert. In dieser Arbeit werden numerische Erweiterungen basierend auf den Prinzipien der Automatischen Differentiation für rekursive Algorithmen, die eine effiziente Auswertung der dynamischen Größen der oben genannten Mehrkörperformulierung erlauben, hergeleitet, sodass sowohl die nominellen Größen als auch deren ersten Ableitungen effizient ausgewertet werden können. Basierend auf diesen Ideen werden Erweiterungen für die Auswertung der Kontaktdynamik und der Berechnung des Kontaktimpulses vorgeschlagen. Die Echtzeitfähigkeit der Berechnung von Regelantworten hängt stark von der Komplexität der für die Bewegungerzeugung gewählten Mehrkörperformulierung und der zur Verfügung stehenden Rechenleistung ab. Um einen optimalen Trade-Off zu ermöglichen, untersucht diese Arbeit einerseits die mögliche Reduktion der Mehrkörperdynamik und andererseits werden maßgeschneiderte numerische Methoden entwickelt, um die Echtzeitfähigkeit der Regelung zu realisieren. Im Rahmen dieser Arbeit werden hierfür zwei reduzierte Modelle hergeleitet: eine nichtlineare Erweiterung des linearen inversen Pendelmodells sowie eine reduzierte Modellvariante basierend auf der centroidalen Mehrkörperdynamik. Ferner wird ein Regelaufbau zur GanzkörperBewegungserzeugung vorgestellt, deren Hauptbestandteil jeweils aus einem speziell diskretisierten Problem der nichtlinearen modell-prädiktiven Regelung sowie einer maßgeschneiderter Optimierungsmethode besteht. Die Echtzeitfähigkeit des Ansatzes wird durch Experimente mit den Robotern HRP-2 und HeiCub verifiziert. Diese Arbeit schlägt eine Methode der nichtlinear modell-prädiktiven Regelung vor, die trotz der Komplexität der vollen Mehrkörperformulierung eine Berechnung der Regelungsantwort in Echtzeit ermöglicht. Dies wird durch die geschickte Kombination von linearer und nichtlinearer modell-prädiktiver Regelung auf der aktuellen beziehungsweise der letzten Linearisierung des Problems in einer parallelen Regelstrategie realisiert. Experimente mit dem humanoiden Roboter Leo zeigen, dass, im Vergleich zur nominellen Strategie, erst durch den Einsatz dieser Methode eine Bewegungserzeugung auf dem Roboter möglich ist. Neben Methoden der modell-basierten Optimalsteuerung werden auch modell-freie Methoden des verstärkenden Lernens (Reinforcement Learning) für die Bewegungserzeugung untersucht, mit dem Fokus auf den schwierig zu modellierenden Modellunsicherheiten der Roboter. Im Rahmen dieser Arbeit werden eine allgemeine vergleichende Studie sowie Leistungskennzahlen entwickelt, die es erlauben, modell-basierte und -freie Methoden quantitativ bezüglich ihres Lösungsverhaltens zu vergleichen. Die Anwendung der Studie auf ein akademisches Beispiel zeigt Unterschiede und Kompromisse sowie Break-Even-Punkte zwischen den Problemformulierungen. Diese Arbeit schlägt basierend auf dieser Grundlage zwei mögliche Kombinationen vor, deren Eigenschaften bewiesen und in Simulation untersucht werden. Außerdem wird die besser abschneidende Variante auf dem humanoiden Roboter Leo implementiert und mit einem nominellen modell-basierten Regler verglichen