Linear orderings of random geometric graphs (extended abstract)

In random geometric graphs, vertices are randomly distributed on [0,1]^2 and pairs of vertices are connected by edges whenever they are sufficiently close together. Layout problems seek a linear ordering of the vertices of a graph such that a certain measure is minimized. In this paper, we study several layout problems on random geometric graphs: Bandwidth, Minimum Linear Arrangement, Minimum Cut, Minimum Sum Cut, Vertex Separation and Bisection. We first prove that some of these problems remain \NP-complete even for geometric graphs. Afterwards, we compute lower bounds that hold with high probability on random geometric graphs. Finally, we characterize the probabilistic behavior of the lexicographic ordering for our layout problems on the class of random geometric graphs.Postprint (published version

Fault Tolerance in Cellular Automata at High Fault Rates

A commonly used model for fault-tolerant computation is that of cellular automata. The essential difficulty of fault-tolerant computation is present in the special case of simply remembering a bit in the presence of faults, and that is the case we treat in this paper. We are concerned with the degree (the number of neighboring cells on which the state transition function depends) needed to achieve fault tolerance when the fault rate is high (nearly 1/2). We consider both the traditional transient fault model (where faults occur independently in time and space) and a recently introduced combined fault model which also includes manufacturing faults (which occur independently in space, but which affect cells for all time). We also consider both a purely probabilistic fault model (in which the states of cells are perturbed at exactly the fault rate) and an adversarial model (in which the occurrence of a fault gives control of the state to an omniscient adversary). We show that there are cellular automata that can tolerate a fault rate $1/2 - \xi$ (with $\xi>0$) with degree $O((1/\xi^2)\log(1/\xi))$, even with adversarial combined faults. The simplest such automata are based on infinite regular trees, but our results also apply to other structures (such as hyperbolic tessellations) that contain infinite regular trees. We also obtain a lower bound of $\Omega(1/\xi^2)$, even with purely probabilistic transient faults only

Complexity of planar signed graph homomorphisms to cycles

We study homomorphism problems of signed graphs. A signed graph is an undirected graph where each edge is given a sign, positive or negative. An important concept for signed graphs is the operation of switching at a vertex, which is to change the sign of each incident edge. A homomorphism of a graph is a vertex-mapping that preserves the adjacencies; in the case of signed graphs, we also preserve the edge-signs. Special homomorphisms of signed graphs, called s-homomorphisms, have been studied. In an s-homomorphism, we allow, before the mapping, to perform any number of switchings on the source signed graph. This concept has been extensively studied, and a full complexity classification (polynomial or NP-complete) for s-homomorphism to a fixed target signed graph has recently been obtained. Such a dichotomy is not known when we restrict the input graph to be planar (not even for non-signed graph homomorphisms). We show that deciding whether a (non-signed) planar graph admits a homomorphism to the square $C_t^2$ of a cycle with $t\ge 6$, or to the circular clique $K_{4t/(2t-1)}$ with $t\ge2$, are NP-complete problems. We use these results to show that deciding whether a planar signed graph admits an s-homomorphism to an unbalanced even cycle is NP-complete. (A cycle is unbalanced if it has an odd number of negative edges). We deduce a complete complexity dichotomy for the planar s-homomorphism problem with any signed cycle as a target. We also study further restrictions involving the maximum degree and the girth of the input signed graph. We prove that planar s-homomorphism problems to signed cycles remain NP-complete even for inputs of maximum degree~$3$ (except for the case of unbalanced $4$-cycles, for which we show this for maximum degree~$4$). We also show that for a given integer $g$, the problem for signed bipartite planar inputs of girth $g$ is either trivial or NP-complete.Comment: 17 pages, 10 figure

Fault Tolerance in Cellular Automata at Low Fault Rates

A commonly used model for fault-tolerant computation is that of cellular automata. The essential difficulty of fault-tolerant computation is present in the special case of simply remembering a bit in the presence of faults, and that is the case we treat in this paper. The conceptually simplest mechanism for correcting errors in a cellular automaton is to determine the next state of a cell by taking a majority vote among its neighbors (including the cell itself, if necessary to break ties). We are interested in which regular two-dimensional tessellations can tolerate faults using this mechanism, when the fault rate is sufficiently low. We consider both the traditional transient fault model (where faults occur independently in time and space) and a recently introduced combined fault model which also includes manufacturing faults (which occur independently in space, but which affect cells for all time). We completely classify regular two-dimensional tessellations as to whether they can tolerate combined transient and manufacturing faults, transient faults but not manufacturing faults, or not even transient faults.Comment: i+26 p

Rumor spreading: robustness and limiting distributions

In this thesis, we study mathematical aspects of information dissemination. The four collected works investigate randomized rumor spreading with regard to its robustness and asymptotic runtime as well as adversarial effects on opinion forming. In the first contribution, Robustness of Randomized Rumor Spreading, we investigate the popular randomized rumor spreading algorithms push, pull and pushpull. These are used to spread information quickly through large networks, typically modelled by graphs. Starting with one informed vertex and depending on the used algorithm the information is spread in a round based manner. Using push, every informed vertex chooses a random neighbour and passes the information forward. With pull, each vertex yet uninformed connects to a randomly chosen neighbor and receives the information, if the vertex it connected to is informed. pushpull is a combination of push and pull. Every vertex chooses a random neighbour, if one of them is informed then the other will be informed as well. Their advantages over deterministic algorithms are, that they are easy to implement, fast and very robust against failures. However, there is only sporadic information available to substantiate the claimed robustness. The aim of this work is to close this gap. To that end, three orthogonal properties and their effects on the speed of the dissemination are studied. First, we show that the density of the graph does not play an important role. For fast dissemination it is not relevant how many edges there are, but how evenly they are distributed in the graph. Thus, a network could have many faulty connections, but as long as the remaining ones are spread evenly the speed of the dissemination is not significantly impacted. This begs the question how evenly the remaining edges need to be spread to guarantee a fast dissemination. Surprisingly, the answer to this question is not the same for all three rumor spreading algorithms. pull and pushpull are very robust. Starting from a graph with evenly distributed edges and thus fast dissemination one may introduce irregularities by deleting up to one half of all edges at each node and the dissemination remains fast. However, for push the dissemination already slows down significantly if only few irregularities are introduced. Lastly, we additionally consider random message transmission failures. From previous works, we know that on "nice" graphs all three algorithms only slow down proportionally to the failure probability. However, when considering the effect of density and irregularities together with transmission failures, the picture changes once more. pull alone retains its fast dissemination. With a suitable choice of parameters, pushpull similar to \push can be slowed down significantly. Thus, we can not unconditionally confirm the claimed robustness for all three rumor spreading algorithms, only pull proved to be robust against all introduced challenges, push and pushpull, however, did not. In the second contribution, Asymptotics for Push on the Complete Graph, we move from the general approach of quantifying the robustness of all three randomized rumor spreading algorithms on a broad range of networks to very precisely describing the runtime of push on complete graphs only. Thereby, the runtime is defined as the time until the information is disseminated to all vertices in the graph. In this work, we completely describe the limiting distribution of the runtime of push on the complete graph in terms of a Gumbel distributed random variable. We made a surprising observation, the asymptotic distribution does not converge everywhere, only on suitable subsequences. This results in the phenomena, that the expected runtime is not constant either but infimum and supremum over all n differ by about 10^-4. After successfully solving push on the complete graph, a natural question is to ask whether the same can be achieved for other rumor spreading algorithms. The third contribution, Asymptotics for Pull on the Complete Graph, answers this question for pull, describing the asymptotic distribution of the runtime of pull on the complete graph in terms of a martingale limit. Again we observed that the limiting distribution only exists on suitable subsequences. We study the expected runtime numerically, finding strong evidence that it is not constant either. The last contribution, The Effect of Iterativity on Adversarial Opinion Forming, deviates from the previously considered model and introduces a second competing piece of information. We interpret them as opinions and assume one to be the truth and the other one to be a falsehood. The opinions are spread through the network by a simple majority rule, i.e. uninformed vertices take the majority opinion of their informed neighbours. Known properties that guarantee robustness are the degree being sufficiently bounded or the edges being evenly distributed. The question considered in this contribution is whether an alternative iterative dissemination process influences robustness. Alon et al. conjecture that iterativity is always beneficial for the adversary. We refute that conjecture by giving a graph where iterativity benefits robustness.In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit mathematischen Aspekten der Informationsverbreitung in Netzwerken. Die vier gesammelten Beiträge untersuchen randomisierte Gerüchteverbreitungsalgorithmen hinsichtlich ihrer Robustheit und asymptotischen Laufzeit, sowie gegnerische Auswirkungen auf die Meinungsbildung. Der erste Beitrag, Robustness of Randomized Rumor Spreading, befasst sich mit den populären randomisierten Gerüchteverbreitungsalgorithmen Push, Pull und Push&Pull. Diese werden dazu verwendet, um Informationen schnell durch große, als Graphen modellierte Netzwerke zu verteilen. Beginnend mit einem informierten Knoten und in Runden verfahrend, werden die Informationen abhängig vom verwendeten Algorithmus verteilt. Wird \push benutzt, so wählt jeder informierte Knoten einen zufälligen Nachbarn und gibt die Information weiter. Mit Pull wählen uninformierte Knoten zufällige Nachbarn und werden informiert, falls der gewählte Nachbar informiert ist. Push&Pull ist eine Kombination aus Push und Pull. Jeder Knoten wählt einen zufälligen Nachbarn aus, ist einer der beiden informiert, so wird auch der andere informiert. Mit einer einfachen Implementierung, hohen Geschwindigkeit und einer starken Robustheit heben sich die randomisierten Gerüchteverbreitungsalgorithmen positiv von deterministischen Algorithmen ab. Bisher liegen jedoch nur sporadische Informationen vor, um die beobachtete Robustheit auch rigoros zu belegen. Ziel dieser Arbeit ist es, diese Lücke zu schließen. Dafür betrachten wir drei verschiedene, strukturelle Eigenschaften der Graphen, um deren Auswirkungen auf die Geschwindigkeit der Verbreitung zu studieren. Als erstes Ergebnis zeigen wir, dass die Dichte des Netzwerks keinen nennenswerten Einfluss hat. Für eine schnelle Verbreitung der Informationen ist nicht die Anzahl der Kanten relevant, sondern deren gleichmäßige Verteilung. Ein Netzwerk könnte folglich viele fehlerhafte Verbindungen haben, aber solange die verbleibenden Verbindungen gleichmäßig verteilt sind, wird die Verbreitung nicht wesentlich verlangsamt. Dies regt die Untersuchung an, wie gleichmäßig die verbleibenden Kanten sein müssen, um eine schnelle Verbreitung zu gewährleisten. Wider Erwarten konnten wir Unterschiede in Abhängigkeit des gewählten Gerüchteverbreitungsalgorithmus aufzeigen. Pull und Push&Pull sind sehr widerstandsfähig. Denn ausgehend von einem „schönen“ Graph mit gleichmäßig verteilten Kanten können durch Löschen von Kanten Unregelmäßigkeiten eingebracht werden durch die sich die Geschwindigkeit der Gerüchteverbreitung nicht nennenswert verändert. Im Gegensatz dazu verlangsamt sich die Verbreitung mit Push bereits erheblich, wenn nur wenige Unregelmäßigkeiten auftreten. Abschließend befassen wir uns ergänzend mit zufällig auftretenden Übertragungsfehlern. Aus früheren Arbeiten wissen wir, dass sich bei „schönen“ Graphen alle drei Algorithmen nur proportional zur Ausfallswahrscheinlichkeit verlangsamen. Betrachten wir hingegen die Auswirkungen der Dichte und der Unregelmäßigkeiten mit Übertragungsfehlern zusammen, entsteht eine neue Sachlage. Dabei behält nur Pull seine schnelle Verbreitung bei, Push&Ppull kann bei einer entsprechenden Wahl der Parameter ähnlich wie Push verlangsamt werden. Somit ist eine Bestätigung der behaupteten Robustheit der drei Gerüchteverbreitungsalgorithmen nicht bedingungslos möglich. Lediglich Pull erwies sich als widerstandsfähig gegenüber allen betrachteten Problemen, Push und Push&Pull jedoch nicht. Im zweiten Beitrag, Asymptotics for Push on the Complete Graph, gehen wir vom allgemeinen Ansatz der Beschreibung der Robustheit aller drei randomisierten Gerüchteverbreitungsalgorithmen auf einem breiten Spektrum von Netzwerken zu einer sehr präzise Beschreibung der Laufzeit von Push auf vollständigen Graphen über. Dabei definiert sich die Laufzeit als die Zeit, in der die Information an alle Knoten im Graph verteilt wird. In dieser Arbeit beschreiben wir die Grenzverteilung der Laufzeit von Push auf dem vollständigen Graph. Dabei haben wir eine überraschende Beobachtung gemacht, denn die asymptotische Verteilung konvergiert nicht überall, sondern nur auf geeigneten Teilfolgen. Dies resultiert in dem Phänomen, dass die erwartete Laufzeit nicht konstant ist, vielmehr unterscheiden sich Supremum und Infimum über alle n um ungefähr 10^-4. Nach dieser erkenntnisreichen Arbeit stellt sich die natürliche Frage, ob dasselbe für die anderen Gerüchteverbreitungsalgorithmen gilt. Die daran anschließende Arbeit Asymptotics for Pull on the Complete Graph bejaht die aufgeworfene Frage für Pull, indem die asymptotische Verteilung der Laufzeit von Pull auf vollständigen Graph mit Hilfe eines Martingalgrenzwertes beschrieben wird. Ferner wird beobachtet, dass die Grenzverteilung nur auf geeigneten Teilfolgen existiert. Die erwartete Laufzeit wird mit Hilfe dieser Beschreibungen empirisch untersucht, wobei es eine starke Evidenz gibt, dass auch diese nicht konstant ist. Der letzte Beitrag, The Effect of Iterativity on Adversarial Opinion Forming, weicht vom bisher betrachteten Modell ab und führt eine zweite, konkurrierende Information ein. Diese interpretieren wir als Meinungen und nehmen eine davon als wahr an. Die Meinungen werden durch eine einfache Mehrheitsregel im Netzwerk verbreitet, d.h. uninformierte Knoten nehmen die Mehrheitsmeinung ihrer informierten Nachbarn an. Dabei sehen wir ein Netzwerk als robust an, wenn selbst ein Kontrahent die anfangs informierten Knoten nur so wählen kann, dass am Ende der Verbreitung stets die Mehrheit der Knoten von der Wahrheit überzeugt ist. Bekannte Beispiele robuster Netzwerke sind solche mit hinreichend beschränkten Knotengraden oder mit ausreichend gleichmäßig verteilten Kanten. In unserem Beitrag betrachten wir die Frage, inwiefern Robustheit durch einen alternativen, iterativen Verbreitungsprozess beeinflusst wird. Alon et al. vermuten eine negative Auswirkung von Iteration auf Robustheit. Wir widerlegen diese Vermutung durch Konstruktion eines Graphen, auf welchem ein iterativer Prozess die Verbreitung der Wahrheit begünstigt

Lattice models of statistical physics and a case study of box-crossing property

The thesis examines the theory of lattice models used in statistical physics from a mathematical perspective, and provides a case study of box-crossing property by proving Russo-Seymour-Welsh estimates in percolation model and the box-crossing property in the critical FK Ising (random cluster) model. The thesis is self-contained in its use of probability theory, but a general measure theory background is assumed

On Nice Graphs

. A digraph G is k-nice for some positive integer k if for every two (not necessarily distinct) vertices x and y in G and every pattern of length k, given as a sequence of pluses and minuses, there exists a walk of length k linking x to y which respects this pattern (pluses corresponding to forward edges and minuses to backward edges). A digraph is then nice if it is k-nice for some k. Similarly, a multigraph H , whose edges are coloured by a set of p colours, is k-nice if for every two (not necessarily distinct) vertices x and y in H and every pattern of length k, given as a sequence of colours, there exists a path of length k linking x to y which respects this pattern. Such a multigraph is nice if it is k-nice for some k. In this paper we study the structure of nice digraphs and multigraphs. Keywords. Graph homomorphisms, Oriented graphs, Edge-colored graphs, Universal graphs.