Contributions To Pursuit-Evasion Game Theory.

This dissertation studies adversarial conflicts among a group of agents moving in the plane, possibly among obstacles, where some agents are pursuers and others are evaders. The goal of the pursuers is to capture the evaders, where capture requires a pursuer to be either co-located with an evader, or in close proximity. The goal of the evaders is to avoid capture. These scenarios, where different groups compete to accomplish conflicting goals, are referred to as pursuit-evasion games, and the agents are called players. Games featuring one pursuer and one evader are analyzed using dominance, where a point in the plane is said to be dominated by a player if that player is able to reach the point before the opposing players, regardless of the opposing players' actions. Two generalizations of the Apollonius circle are provided. One solves games with environments containing obstacles, and the other provides an alternative solution method for the Homicidal Chauffeur game. Optimal pursuit and evasion strategies based on dominance are provided. One benefit of dominance analysis is that it extends to games with many players. Two foundational games are studied; one features multiple pursuers against a single evader, and the other features a single pursuer against multiple evaders. Both are solved using dominance through a reduction to single pursuer, single evader games. Another game featuring competing teams of pursuers is introduced, where an evader cooperates with friendly pursuers to rendezvous before being captured by adversaries. Next, the assumption of complete and perfect information is relaxed, and uncertainties in player speeds, player positions, obstacle locations, and cost functions are studied. The sensitivity of the dominance boundary to perturbations in parameters is provided, and probabilistic dominance is introduced. The effect of information is studied by comparing solutions of games with perfect information to games with uncertainty. Finally, a pursuit law is developed that requires minimal information and highlights a limitation of dominance regions. These contributions extend pursuit-evasion game theory to a number of games that have not previously been solved, and in some cases, the solutions presented are more amenable to implementation than previous methods.PhDAerospace EngineeringUniversity of Michigan, Horace H. Rackham School of Graduate Studieshttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/120650/1/dwoyler_1.pd

Obrona odcinka

Obrona odcinka pojawia się zwykle w zagadnieniach obrony obszaru jako problem częściowy lub pomocniczy, patrz cytowany wyżej przykład 9.6.4. Poza tym odcinek jest broniony przed atakiem z pewnego kierunku. W tej pracy zajmujemy się wyłącznie zagadnieniem obrony odcinka położonego na płaszczyźnie R2. Zakładamy przy tym przewagę prędkości po stronie napastnika. Dając napastnikowi możliwość krążenia wokół bronionego odcinka zmieniamy istotnie charakter rozważanej gry, a w konsekwencji również sposób jej rozwiązania. W przypadku rozważanej w pracy gry obrony odcinka, w której gracze poruszają się tak zwanym ruchem prostym, rozwiązanie gry otrzymujemy konstruując stosowną parę zbiorów wypukłych. Niejako przy okazji otrzymujemy też jawny wzór wyznaczający maksymalną długość możliwego do obrony odcinka. Ponieważ w pracach [10] i [18] użyto z powodzeniem podobnych metod, to można zaryzykować przypuszczenie, że rozwiązanie każdego (analogicznego) problemu obrony obszaru o pewnych ekstremalnych własnościach będzie wyznaczone przez odpowiednią parę zbiorów wypukłych. Pracę można podzielić na trzy części. Część pierwszą stanowią rozdziały pierwszy, drugi i trzeci. W części pierwszej podajemy potrzebne dalej własności zbiorów 1 funkcji wypukłych (wklęsłych) oraz wybrane elementy teorii miary i całki. Niektórych własności dowodzimy, chociaż wydają się znane lub oczywiste. Powodem takiego postępowania są trudności ze wskazaniem stosownej bibliografii. Wprowadzamy również kilka podstawowych konstrukcji używanych w następnych rozdziałach. Głównym celem konstrukcji jest przybliżenie wspomnianej wyżej pary zbiorów wypukłych odpowiednią parą wielokątów wypukłych. W końcowej części rozdziału trzeciego zajmujemy się kluczowym dla tej pracy pojęciem układu obronnego. Główną część pracy stanowią rozdziały czwarty, piąty i szósty. W rozdziale czwartym opisujemy rozważaną w pracy grę obrony odcinka. Definiujemy tam zbiory trajektorii i strategii dopuszczalnych oraz cenę gry. Celem rozdziałów piątego i szóstego jest wyznaczenie ceny gry. W rozdziale piątym, korzystając z odpowiednich własności układów obronnych, otrzymujemy dolne oszacowanie ceny gry. Na początku rozdziału szóstego dowodzimy lematu umożliwiającego w dalszej części rozdziału ustalenie wzajemnych relacji pomiędzy prędkościami kątowymi wektorów y (t) oraz y (t) — x (t) , gdzie y (t) , x (t) są położeniami napastnika i obrońcy w chwili t > 0. W wyniku otrzymujemy górne oszacowanie ceny gry, pokrywające się z oszacowaniem dolnym. Uzyskany w rozdziałach piątym i szóstym wynik dotyczy obrony odcinka położonego na osi odciętych, symetrycznie względem osi rzędnych. W ostatnim, siódmym rozdziale, korzystając z faktu, że przesunięcie i obrót są izometriami, przenosimy ten wynik standardowym sposobem na przypadek dowolnie położonego odcinka