Ein numerisches Verfahren zur analytischen Fortsetzung

Für die Aufgabe, eine durch ihre Potenzreihe gegebene Funktion über den Rand des Konvergenzkreises hinaus fortzusetzen, wird ein klassisches Summierungsverfahren herangezogen und auf seine numerische Brauchbarkeit untersucht. Ein bekannter Satz über den "Fortsetzungsbereich" des Verfahrens liefert auch Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit der transformierten Reihe. Für gewisse Fortsetzungspobleme werden in einem gewissen Sinne optimale Verfahren beschrieben. Ferner werden für die Berechnung der Summierungsmatrix Rekursionsformeln angegeben

Adaptive Finite-Element-Ausgleichsformulierungen für parabolische Anfangs-Randwertaufgaben

[no abstract

Exact least squares interpolation: Korovkin-type convergence results and applications in the context of the numerical approximation of conservation laws

In den frühen 1980er Jahren veröffentlichten Peter Lancaster und Kestutis Salkauskas die so genannte moving least squares interpolation, eine Methode zur glatten Interpolation von beliebig verteilten multivariaten Daten. Die entsprechenden interpolierenden Funktionen minimieren lokal singulär gewichtete kleinste Quadrate Funktionale. Diese Arbeit untersucht die exakte kleinste Quadrate Interpolation, ein zur Methode nach Lancaster und Salkauskas verwandter Ansatz. Nach einem Vergleich dieser beiden Ansätze beweisen wir Konvergenzresultate für die exakte kleinste Quadrate Interpolation vom Korovkin-Typ. Hierfür übertragen und verallgemeinern wir bekannte Konvergenzsätze vom Korovkin-Typ für lineare und positive Operatoren auf Folgen von linearen und regulären Operatoren, die auf Räumen stetiger Funktionen definiert sind. Neben diesen Untersuchungen bringen wir Anwendungen der exakte kleinste Quadrate Interpolation in einem Kontext von Ableitungs-Approximationen durch Finite Differenzen und der numerischen Behandlung von nichtlinearen skalaren Erhaltungsgleichungen.In the early 1980s, Peter Lancaster and Kestutis Salkauskas introduced moving least squares interpolation. This is a technique for the smooth interpolation of multivariate scattered data. The corresponding interpolating functions are local minimizers of certain least squares functionals equipped with singular weighting functions. In this thesis we examine exact least squares interpolation, which is a technique related to the approach given by Lancaster and Salkauskas. We provide a comparision of the two approaches. Moreover, we prove Korovkin-type convergence results for exact least squares interpolation. For this reason, we establish a generalised Korovkin-type theorem for sequences of linear and regular operators on spaces of continuous functions utilizing common Korovkin-type theorems for linear and positive operators. We also study basic applications from exact least squares interpolation in the context of derivative approximations by finite difference operators and the numerical treatment of nonlinear scalar conservation laws

Ordnungssterne und Ordnungspfeile

Die Literatur von den Autoren Hairer, Wanner, Nørsett und Butcher, die der Arbeit als wichtige Quellen zugrunde lag, beschäftigt sich auch intensiv mit Mehrschrittverfahren. Hier wird jeweils nur ein kurzer Ausblick auf Ordnungssterne bzw. Ordnungspfeile bei Mehrschrittverfahren mit einem Beispiel gegeben. Auch auf eine Behandlung der Ordnungssterne im Gebiet der Approximationstheorie wird mit einem Beispiel kurz hingewiesen

Numerische Verfahren zur Lösung des Transmissions-Problems in speziellen Billards und ihre Anwendung zur Konstruktion von Quantenkaskaden-Lasern

Die physikalische Modellierung von Halbleiter-Lasern führt über die Maxwell-Gleichungen auf ein 2-dimensionales Transmissions-Problem, bei dem eine Lösung der Helmholtz-Gleichung im Inneren eines beschränkten Gebiets mit Wellenzahl n k und im Äußeren eine Lösung mit Wellenzahl k gesucht ist, so daß beide Lösungen über den Rand stetig differenzierbar sind. In dieser Arbeit wird ein Prädiktor-Korrektor-Algorithmus vorgestellt, der es im Unterschied zu früheren Verfahren gestattet, alle Eigenwerte in einem vorgegebenen Bereich direkt, sukzessiv und effizient zu berechnen, so daß die Entwicklung von Suchstrategien wie bei früheren Algorithmen obsolet wird. Das Verfahren setzt auf einer Randintegraldiskretisierung der jeweiligen Helmholtz-Operatoren auf, deren Diskretisierungsfehler bei der Berechnung der Eigenfunktionen bzw. Eigenwerten exponentiell kleiner wird. Wenn das Ausgangsgebiet durch eine Billard-Kurve berandet wird, die durch eine Familie von p-periodischen Orbits beschrieben ist, können im quasi-klassischen Grenzübergang die Lösungen des Transmissions-Problems mittels Trajektorien dieses Billards approximiert werden. Die Existenz solcher Billards wurde von Y. Baryshnikov und V. Zharnitsky bewiesen. In der vorliegenden Arbeit werden zwei numerische Konstruktionsverfahren für solche Billards angegeben. Insbesondere wird gezeigt, daß sie Lösungen des Transmissions-Problems besitzen, welche im Inneren des Billards lokalisiert sind