Nominalism In Mathematics - Modality And Naturalism

I defend modal nominalism in philosophy of mathematics - under which quantification over mathematical ontology is replaced with various modal assertions - against two sources of resistance: that modal nominalists face difficulties justifying the modal assertions that figure in their theories, and that modal nominalism is incompatible with mathematical naturalism. Shapiro argues that modal nominalists invoke primitive modal concepts and that they are thereby unable to justify the various modal assertions that figure in their theories. The platonist, meanwhile, can appeal to the set-theoretic reduction of modality, and so can justify assertions about what is logically possible through an appeal to what exists in the set-theoretic hierarchy. In chapter one, I illustrate the modal involvement of the major modal nominalist views (Chihara\u27s Constructibility Theory, Field\u27s fictionalism, and Hellman\u27s Modal Structuralism). Chapter two provides an analysis of Shapiro\u27s criticism, and a partial response to it. A response is provided in full in chapter three, in which I argue that reducing modality does not provide a means for justifying modal assertions, vitiating the accusation that modal nominalists are particularly burdened by their inability to justify modal assertions. Chapter four discusses Burgess\u27s naturalistic objection that nominalism is unscientific. I argue that Burgess\u27s naturalism is inadequately resourced to expose nominalism (modal or otherwise) as unscientific in a way that would compel a naturalist to reject nominalism. I also argue that Burgess\u27s favored moderate platonism is also guilty of being unscientific. Chapter five discusses some objections derived from Maddy\u27s naturalism, one according to which modal nominalism fails to affirm or support mathematical method, and a second according to which modal nominalism fails to be contained or accommodated by mathematical method. Though both objections serve as evidence that modal nominalism is incompatible with Maddy\u27s naturalism, I argue that Maddy\u27s naturalism is implausibly strong and that modal nominalism is compatible with forms of naturalism that relax the stronger of Maddy\u27s naturalistic principles

Quantity and number

Quantity is the first category that Aristotle lists after substance. It has extraordinary epistemological clarity: "2+2=4" is the model of a self-evident and universally known truth. Continuous quantities such as the ratio of circumference to diameter of a circle are as clearly known as discrete ones. The theory that mathematics was "the science of quantity" was once the leading philosophy of mathematics. The article looks at puzzles in the classification and epistemology of quantity

The Intrinsic Structure of Quantum Mechanics

The wave function in quantum mechanics presents an interesting challenge to our understanding of the physical world. In this paper, I show that the wave function can be understood as four intrinsic relations on physical space. My account has three desirable features that the standard account lacks: (1) it does not refer to any abstract mathematical objects, (2) it is free from the usual arbitrary conventions, and (3) it explains why the wave function has its gauge degrees of freedom, something that are usually put into the theory by hand. Hence, this account has implications for debates in philosophy of mathematics and philosophy of science. First, by removing references to mathematical objects, it provides a framework for nominalizing quantum mechanics. Second, by excising superfluous structure such as overall phase, it reveals the intrinsic structure postulated by quantum mechanics. Moreover, it also removes a major obstacle to "wave function realism.

Incommensurability: An Overview

Opening remarks delivered at "Incommensurability (and related matters)" conference, Hanover, June 199

Totuus, todistettavuus ja gödeliläiset argumentit : Tarskilaisen totuuden puolustus matematiikassa

Eräs tärkeimmistä kysymyksistä matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden välinen suhde. Kantaa, jonka mukaan nämä kaksi käsitettä ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista näkökulmaa substantialismiksi. Ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessaan Kurt Gödel todisti, että kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sisältävät formaalit systeemit sisältävät lauseita, joita ei voida sen enempää todistaa kuin osoittaa epätosiksi kyseisen systeemin sisällä. Tällaiset Gödel-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemiä Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat näyttäneet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heidän mukaansa Gödel-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu. Tätä vastaan Neil Tennant on näyttänyt, että tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemiä ns. pätevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”väitettävissä”, ja josta seuraa myös Gödel-lauseiden väitettävyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystytäänkö Gödel-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyväksyttävämpi laajennus kuin pätevyysperiaate. Tässä työssä väitän, että tätä ongelmaa on paras lähestyä ajattelemalla matematiikkaa ilmiönä, joka on laajempi kuin pelkästään formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme että tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. Väitän, että totuus on esiformaalissa matematiikassa sitä mitä todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuuskäsitys kuvaa tätä suhdetta tarkasti. Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, että vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkityksetöntä mikäli se ei viittaa mihinkään objektiiviseen. Tätä vastaan väitän, että kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehdä luonnollisesti. Väitän siis, että mikäli matematiikan mielivaltaisuus hylätään, täytyy hyväksyä totuuden substantiaalisuus. Muita tähän liittyviä aiheita, kuten uusfregeläisyyttä, käsitellään myös tässä työssä, eikä niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle. Ainoa jäljelle jäävä mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, että formaalit kielet voivat sisältää omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti tämän mahdottomaksi klassisille ensimmäisen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei välttämättä olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemejä, ja yllä esitetty argumentti ei pätisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn tässä työssä eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusystävälliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on väittänyt, että IF-kieli voi sisältää oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. Väitän kuitenkin, että vaikka tämä onkin totta, tätä predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sisäisesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle säilyy. IF-logiikan lisäksi myös toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken käyttämä Kleenen logiikka epäonnistuvat samalla tavalla

EXPLORING THE EASY ROAD TO NOMINALISM

My dissertation is divided into three self-contained chapters, each of which explores some facet of nominalism. The overall aim is to explicate and defend a nominalist approach that recognizes the utility of talking about, or presupposing the existence of, abstract objects even if no such objects exist. The first chapter begins with a question: why is talk about abstract mathematical entities so useful in describing and explaining the physical world? Here is an answer: talk about such entities is useful for describing and explaining the physical world insofar as there is some appropriate structural similarity between them and the target physical system. But this account leads to a problem: there is no guarantee that the world contains a sufficiently rich ontology for the requisite structures to be instantiated. The primary focus of the first chapter is on exploring ways to resolve this problem as it relates to the metaphysics of quantitative properties. In the second chapter I present easy road nominalism, a variant of nominalist that accepts that purported reference to abstract objects is an indispensible part of our best scientific theories. The crucial insight of the easy road strategy is that referential discourse can be useful for reasons that have nothing to do with the existence of the entities purportedly being referred to. While I spend some time explaining the core of the easy road strategy, my focus is on applying the easy road strategy to theories of language. I propose that the presupposition that there are abstract linguistic objects plays a crucial role in explaining linguistic behavior, and provides the basis for a nominalistically acceptable account of content. In the third chapter I characterize fictionalism, and examine some of the wide variety of fictionalist theories in the literature. Many fictionalist theories depend crucially on the idea that non-literal utterances of a sentence have different content from literal utterances of that sentence. But I argue that the core fictionalist strategy requires no such thing, and that the prevalence of such views has been driven by assumptions about the role of content and truth that are misplaced

Infinitesimal Idealization, Easy Road Nominalism, and Fractional Quantum Statistics

It has been recently debated whether there exists a so-called “easy road” to nominalism. In this essay, I attempt to fill a lacuna in the debate by making a connection with the literature on infinite and infinitesimal idealization in science through an example from mathematical physics that has been largely ignored by philosophers. Specifically, by appealing to John Norton’s distinction between idealization and approximation, I argue that the phenomena of fractional quantum statistics bears negatively on Mary Leng’s proposed path to easy road nominalism, thereby partially defending Mark Colyvan’s claim that there is no easy road to nominalism