A general insertion theorem for uniform locales

A general insertion theorem due to Preiss and Vilimovský is extended to the category of locales. More precisely, given a preuniform structure on a locale we provide necessary and sufficient conditions for a pair f ≥ g of localic real functions to admit a uniformly continuous real function in-between. As corollaries, separation and extension results for uniform locales are proved. The proof of the main theorem relies heavily on (pre-)diameters in locales as a substitute for classical pseudometrics. On the way, several general properties concerning these (pre-)diameters are also shown

A study of localic subspaces, separation, and variants of normality and their duals.

198 p.As in classical topology, in localic topology one often needs to restrict to locales satisfyinga certain degree of separation. In fact, the study of separation in the category of localesconstitutes a non-trivial and important piece of the theory. For instance, it is sometimesimpossible to give an exact counterpart of a classical axiom, while other times a singleproperty for spaces yields multiple non-equivalent localic versions.The main goal of this thesis is to investigate several classes of separated locales and theirconnections with different classes of sublocales, that is, the regular subobjects in the categoryof locales.In particular, we introduce a new diagonal separation and show that it is, in a certainsense, dual to Isbell¿s (strong) Hausdorff property. The duality between suplattices andpreframes, and that between normality and extremal disconnectedness, turn out to be ofspecial interest in this context.Regarding higher separation, we introduce cardinal generalizations of normality andtheir duals (e.g., properties concerning extensions of disjoint families of cozero elements),and give characterizations via suitable insertion or extension results.The lower separation property known as the TD-axiom, also plays an important role inthe thesis. Namely, we investigate the TD-duality between the category of TD-spaces and acertain (non-full) subcategory of the category of locales, identifying the regular subobjects inthe localic side, and provide several applications in point-free topology.Tal como na topologia clássica, também na topologia dos locales (reticulados locais) éfrequente termos que nos restringir a locales que satisfaçam um certo grau de separação.De facto, o estudo de axiomas de separação na categoria dos locales constitui um aspectonão trivial e relevante da teoria. Por exemplo, em alguns casos é impossível termos acontrapartida exacta de um axioma clássico, enquanto noutros casos uma única propriedadepara espaços topológicos produz, na categoria dos locales, diversas versões não equivalentesentre si.O objectivo principal desta tese é investigar várias classes de locales separados e suasconexões com diferentes classes de sublocales (os subobjetos regulares na categoria doslocales).Em particular, introduzimos uma nova propriedade de separação diagonal e mostramosque se trata, em certo sentido, de uma propriedade dual do axioma (forte) de Hausdorffintroduzido por Isbell. As dualidades entre semi-reticulados e reticulados pré-locais, e entrenormalidade e desconexão extrema, acabam por ter um papel relevante neste contexto.Relativamente a axiomas de separação fortes, introduzimos generalizações de normalidade,em função de um cardinal arbitrário, e suas duais (por exemplo, propriedadesenvolvendo extensões de famílias disjuntas de elementos co-zero), e apresentamos caracterizaçõesem termos de propriedades de inserção ou extensão de funções.O axioma TD, uma propriedade de separação muito fraca, também desempenha umpapel importante nesta tese. Especificamente, investigamos a dualidade TD entre a categoriados espaços topológicos TD e uma determinada subcategoria (não plena) da categoria doslocales, identificando os subobjetos regulares na subcategoria de locales, e apresentamosvárias aplicações à topologia sem pontos.Tal y como ocurre en topología clásica, en topología locálica frecuentemente uno tiene querestringir su atención a locales que cumplen cierto grado de separación. De hecho, el estudiode la separación en la categoría de locales es un aspecto no trivial y relevante de la teoría. Enalgunos casos, es imposible dar una contrapartida exacta a un axioma clásico, mientras queen otros casos, una sola propiedad produce multitud de versiones locálicas no equivalentesentre sí.El principal objetivo de esta tesis es investigar varias clases de locales separados y susrelaciones con diferentes clases de sublocales, esto es, los subobjetos regulares en la categoríade locales.En particular, introducimos una nueva separación diagonal, y probamos que es, en ciertosentido, dual al axioma Hausdorff (fuerte) de Isbell. En este contexto, la dualidad entreretículos completos y premarcos, y aquella entre la normalidad y la desconexión extremaresultan ser de especial interés.En cuanto a la separación más fuerte, introducimos generalizaciones cardinales de lanormalidad y sus duales (por ejemplo, propiedades que consisten en la extensión de familiasdisjuntas de elementos cozero), y damos caracterizaciones de las mismas en términos deteoremas de extensión o inserción.Ciertas propiedades de separación más débiles, especialmente el axioma TD, tambiéndesempeñan un papel importante en esta tesis. Específicamente, investigamos la dualidad TDentre la categoría de espacios topológicos TD y cierta subcategoría (no plena) de la categoríade locales, identificando los subobjetos regulares en la categoría de locales, y proporcionamosalgunas aplicaciones en la topología sin puntos