Turing patterns formation on surfaces under deformation: A total lagrangian method approach

En este artículo se desarrollan varios ejemplos numéricos sobre ecuaciones de reacción-difusión con dominio creciente. Para este fin se utiliza el modelo de reacción de Schnakenberg, con parámetros en el espacio de Turing. Por tanto se realizan ensayos numéricos sobre la aparición de los patrones de Turing en superficies que tienen alta tasa de deformación. Para la solución de las ecuaciones de reacción difusión se presenta un método de solución en superficies en 3 dimensiones mediante el método de los elementos finitos bajo el uso de la formulación lagrangiana total. Los resultados muestran que la formación de los patrones de Turing depende de las funciones de deformación de la superficie y la tasa a la cual se presenta el cambio de posición de cada punto del dominio donde se lleva a cabo la solución numérica. Estos resultados pueden esclarecer algunos fenómenos de cambio de patrón en la superficie de la piel de aquellos animales que exhiben manchas características.In this work we have developed several numerical examples of reaction-diffusion equations with growing domain. For this purpose we have used the Schnakenberg reaction model with parameters in space Turing. Therefore numerical tests are performed on the appearance of Turing patterns on surfaces that have high deformation rate. For the solution of reaction diffusion equations is presented a solution method on surfaces in three dimensions using the finite element method under the use of the total Lagrangian formulation. The results show that the formation of Turing patterns depends on the features of surface deformation and the rate at which change in position of each point of the domain. These results can explain some phenomena of change of pattern on the surface of the skin of animals that exhibit characteristic spots.Peer Reviewe

Implementación del método de estabilización de petrov-galerkin en contracorriente para la solución numérica de problemas altamente advectivos

El presente artículo describe el método Petrov-Galerkin en contracorriente (SUPG) como técnica de estabilización de las solucio- nes por elementos finitos de la ecuación diferencial de difusión –advección- reacción. En la primera parte del artículo se hace un breve análisis de la importancia de este tipo de ecuaciones diferenciales para el modelado de fenómenos físicos en múltiples campos. Posteriormente, se realiza una descripción unidimensional del método SUPG y se desarrolla la metodología para im- plementar la técnica en dos o tres dimensiones. Se presentan los resultados de un experimento numérico fuertemente advéctico y de elevada complejidad desde el punto de vista numérico. Los resultados muestran cómo la versión de la técnica SUPG imple- mentada permite aproximaciones estabilizadas en el espacio, aun para altos números de Peclet. Gráficas adicionales de los ex- perimentos numéricos aquí presentados pueden ser descargados de www.gnum.unal.edu.co.This article describes the streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method as being a stabilisation technique for resolving the diffusion-advection-reaction equation by finite elements. The first part of this article has a short analysis of the importance of this type of differential equation in modelling physical phenomena in multiple fields. A one-dimensional description of the SUPG me- thod is then given to extend this basis to two and three dimensions. The outcome of a strongly advective and a high numerical complexity experiment is presented. The results show how the version of the implemented SUPG technique allowed stabilised approaches in space, even for high Peclet numbers. Additional graphs of the numerical experiments presented here can be downloaded from www.gnum.unal.edu.co

Modellierung der raum-zeitlichen Dynamik von Pflanzenpopulationen

Modelle für die raum-zeitliche Dynamik von Pflanzenpopulationen werden auf so unterschiedlichen Gebieten wie die Ausbreitung von herbizidresistenten Biotypen in der Landwirtschaft, die Abschätzung von Risiken der Ausbreitung genetischer Informationen von genetisch veränderten Kulturpflanzen oder die Migration von Pflanzen unter Klimaänderungen angewendet. In dieser Arbeit werden Modellansätze für die lokale Populationsdynamik, die Ausbreitung innerhalb kleiner Landschaftsausschnitte, die Ausbreitung von Pollen und die großmaßstäbige Ausbreitung von Populationen dargestellt. Modellansätze sind zelluläre Automaten, atmosphärische Transportmodelle für die Pollenausbreitung und ein neuartiger aggregierter Ansatz in Form von partiellen Differentialgleichungen für die Dynamik im Landschaftsmaßstab

Solution on square domains of reaction-convection-diffusion equations using spectral stochastic finite element and streamline upwind Galerkin Petrov

Se desarrolla la solución numérica de 2 problemas de difusión-convección (DC), mediante el empleo del método de elementos finitos de Petrov-Galerkin en contracorriente (SUPG). Los parámetros que definen el comportamiento de las ecuaciones se modelan como campos estocásticos, y son los siguientes: la velocidad convectiva, la difusión y la capacidad calorífica como valores de tipo aleatorio. Por tanto, se combina el método SUPG para ecuaciones de DC, con convección dominante, con el método de los elementos finitos estocásticos espectrales. Los parámetros de cada ecuación se han descrito mediante la expansión de Karhunen-Loève, mientras que la incógnita se representa mediante la expansión de los polinomios de caos. Los objetivos del artículo son: en primer lugar, estudiar la influencia de los campos estocásticos en la solución de problemas de DC con SUPG, y en segundo lugar obtener los patrones de cada coeficiente de la expansión en polinomios de caos. Los resultados muestran la versatilidad del método para solucionar diferentes problemas físicos gracias a la generalidad en la descripción estadística de la solución, y la riqueza en la representación de las zonas donde se halla la mayor variabilidad en la respuesta. Los patrones muestran la incertidumbre en la incógnita que depende de la dinámica de la difusión, la velocidad convectiva y el tipo de solución utilizado.In this paper we have developed the numerical solution of two problems of diffusion-convection (DC), using the finite element method of Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). The parameters that define the behavior of the equations are modeled as stochastic fields, specifically, are used: the convective velocity, diffusion and heat capacity as values of random type. Therefore, we have included SUPG method to DC, with dominant convection, with the stochastic spectral finite element method. Each parameter was described by Karhunen-Loève expansion, while the unknown is represented by the polynomial expansion of the chaos. The objectives of the paper are: 1. To study the influence of stochastic fields in solving problems with SUPG DC and 2. Get the solution of each expansion unknown variable. The results show the versatility of the method for solving different physical problems due to the generality of the statistical description of the solution and the richness in the representation of the areas where there is the greater variability in response. The patterns shown in the unknown uncertainty depends on the dynamics of diffusion, convective velocity and the type of solution used.Peer Reviewe

Spatial Modelling of Within-Field Weed Populations - a Review

Concerns around herbicide resistance, human risk, and the environmental impacts of current weed control strategies have led to an increasing demand for alternative weed management methods. Many new weed management strategies are under development; however, the poor availability of accurate weed maps, and a lack of confidence in the outcomes of alternative weed management strategies, has hindered their adoption. Developments in field sampling and processing, combined with spatial modelling, can support the implementation and assessment of new and more integrated weed management strategies. Our review focuses on the biological and mathematical aspects of assembling within-field weed models. We describe both static and spatio-temporal models of within-field weed distributions (including both cellular automata (CA) and non-CA models), discussing issues surrounding the spatial processes of weed dispersal and competition and the environmental and anthropogenic processes that affect weed spatial and spatio-temporal distributions. We also examine issues surrounding model uncertainty. By reviewing the current state-of-the-art in both static and temporally dynamic weed spatial modelling we highlight some of the strengths and weaknesses of current techniques, together with current and emerging areas of interest for the application of spatial models, including targeted weed treatments, economic analysis, herbicide resistance and integrated weed management, the dispersal of biocontrol agents, and invasive weed species