Dimensionality reduction and spectral properties of multilayer networks

Network representations are useful for describing the structure of a large variety of complex systems. Although most studies of real-world networks suppose that nodes are connected by only a single type of edge, most natural and engineered systems include multiple subsystems and layers of connectivity. This new paradigm has attracted a great deal of attention and one fundamental challenge is to characterize multilayer networks both structurally and dynamically. One way to address this question is to study the spectral properties of such networks. Here, we apply the framework of graph quotients, which occurs naturally in this context, and the associated eigenvalue interlacing results, to the adjacency and Laplacian matrices of undirected multilayer networks. Specifically, we describe relationships between the eigenvalue spectra of multilayer networks and their two most natural quotients, the network of layers and the aggregate network, and show the dynamical implications of working with either of the two simplified representations. Our work thus contributes in particular to the study of dynamical processes whose critical properties are determined by the spectral properties of the underlying network.Comment: minor changes; pre-published versio

Multilayer Networks

In most natural and engineered systems, a set of entities interact with each other in complicated patterns that can encompass multiple types of relationships, change in time, and include other types of complications. Such systems include multiple subsystems and layers of connectivity, and it is important to take such "multilayer" features into account to try to improve our understanding of complex systems. Consequently, it is necessary to generalize "traditional" network theory by developing (and validating) a framework and associated tools to study multilayer systems in a comprehensive fashion. The origins of such efforts date back several decades and arose in multiple disciplines, and now the study of multilayer networks has become one of the most important directions in network science. In this paper, we discuss the history of multilayer networks (and related concepts) and review the exploding body of work on such networks. To unify the disparate terminology in the large body of recent work, we discuss a general framework for multilayer networks, construct a dictionary of terminology to relate the numerous existing concepts to each other, and provide a thorough discussion that compares, contrasts, and translates between related notions such as multilayer networks, multiplex networks, interdependent networks, networks of networks, and many others. We also survey and discuss existing data sets that can be represented as multilayer networks. We review attempts to generalize single-layer-network diagnostics to multilayer networks. We also discuss the rapidly expanding research on multilayer-network models and notions like community structure, connected components, tensor decompositions, and various types of dynamical processes on multilayer networks. We conclude with a summary and an outlook.Comment: Working paper; 59 pages, 8 figure

Mining multi-layered networks - applications to the portuguese urban system and EU domains

O objetivo desta tese é enfatizar a importância de uma abordagem multicamada numa análise de redes, através da aplicação das métricas mais adequadas a dois casos práticos: uma análise territorial tendo por base um conjunto de variáveis que caracterizam o sistema urbano português e um estudo dos mais importantes e influentes países da União Europeia.Por um lado, apresentando as bases teóricas para uma análise de redes monocamadas e multicamadas, os investigadores desenvolvem uma sólida seleção de conceitos e medidas analíticas, tendo em conta a estrutura geral dos diferentes tipos de redes. Por outro lado, o enquadramento teórico é testado em duas redes multicamada reais, de modo a mostrar a validade e significância das medidas introduzidas, capazes de extrair informação importante e não-aleatória sobre tais fenómenos complexos.Os autores analisam os (atuais) 308 municípios portugueses em alguns dos aspetos económicos que caracterizam uma sociedade (trabalho e educação) e os atuais 28 países que compõem a União Europeia em importantes prioridades de políticas de integração europeia tais como o comércio internacional, o investimento direto estrangeiro e os fluxos migratórios e de remessas.Para ambos os cenários nacional e europeu, depois de uma análise individual a cada variável, o método mais adequado para detetar comunidades é implementado numa perspetiva multicamada. Tais resultados são seguidamente comparados com os inicialmente obtidos. A aplicação de redes multivariadas permite inferir padrões espaciais mais consistentes quando comparados com a estrutura geográfica obtida estudando cada camada de rede separadamente. Assim, o problema de investigação adjacente a esta dissertação contribui com um modelo de análise estruturado para identificar medidas analíticas apropriadas para espelhar as estruturas gerais do sistema urbano português e da União Europeia.The main purpose of this thesis is to emphasise the importance of a multi-layered approach to a network analysis, by applying the most appropriate metrics to two case studies: a territorial network analysis capturing several insights of the Portuguese society and a study identifying the most important and influential leading countries of the European Union.On the one hand, by giving the basis for monolayer and multilayer network analysis, the researchers develop a solid selection of the main concepts and analytical measures, bearing in mind the general structure of different types of networks. On the other hand, these frameworks are tested in two real multilayer networks, showing the validity and the meaningfulness of the introduced measures, as important and non-random information to mine complex phenomena.The researchers analyse all the 308 Portuguese municipalities in some economic features that describe a society (work and education) and the current EU-28 countries composition in important priorities of union policies such as commercial trade, foreign direct investment and migration and remittance flows.For both national and European schemes, after the analysis of each variable, where communities are detected individually, an adequate method is implemented to detect communities under the perspective of a multilayer network. Subsequently, the multilayer outcomes are compared with the monolayer ones. The application of a multi-layered network allows inferring spatial patterns in a way more consistent in comparison to the geographical structure deduced from each network layer taken separately. Thus, the research problem underlying this dissertation contributes to a structured analysis model to identify the appropriate analytical measures to derive the Portuguese urban system and the European Union global structures

Multiplex Networks Structure and Dynamics

Los estudios tradicionales en teoría de redes complejas, en general, representan la interacción entre dos elementos del sistema a través de un solo enlace. Esta representación resulta ser una simplificación excesiva en la mayoría de los casos de interés práctico y puede llevar a resultados y conclusiones engañosas. Esto se debe a que la mayoría de los sistemas reales poseen una estructura multicapa, ya que en una gran cantidad de casos de estudio reales existen muchos tipos distintos de interacción entre los constituyentes del sistema. Por ejemplo, un sistema de transporte está constituido por múltiples modos de viajes; un sistema biológico incluye múltiples canales de señalización que operan en paralelo; finalmente, una red social está constituida por múltiples tipos de relaciones distintas (de trabajo, de amistad, de parentesco, etc.) que operan vía distintos modos de comunicación en paralelo (en línea, o desconectados). Para representar de manera apropiada estos sistemas, años atrás se introdujo la noción de redes multiplex en campos tan distintos como la ingeniería y la sociología, al mismo tiempo que los instrumentos analíticos desarrollados para describirlas y analizarlas fueron muy escasos. Esta escasez se debía fundamentalmente a un aspecto: aunque muchas características y métricas de las redes tradicionales (de una sola capa) están bien definidas en la teoría tradicional de redes complejas, resulta muy desafiante generalizarlas al caso de redes multicapa, incluso para aquellas que son más simples. El interés por nuevos desarrollos teóricos para es estudio en profundidad de las redes multiplex, por lo tanto, ha ido creciendo sólo en los últimos años, gracias sobre todo a la gran cantidad de datos disponibles sobre sistemas reales que necesitan de una representación multicapa si se quieren describir y entender en profundidad. En esta Tesis desarrollamos un lenguaje matemático formal para representar la redes multiplex en términos de la teoría algébrica de grafos. En particular, introducimos la noción de matriz de supra-adyacencia como generalización de la matriz de adyacencia definida en el caso de una red de una sola capa. Así mismo definimos el supra-Laplaciano de una red multiplex como generalización del Laplaciano. También, se propone una representación agregada de una red multiplex a través de la noción de grafo cociente. Esto permite asociar a la red multiplex original, un grafo de una sola capa en el cual se agregan los distintos tipos de interacciones presentes. Por un lado, a través de este procedimiento se introduce una manera bien definida de agregar capas, y por otro, también permite definir otra red, formada por las capas, que contiene toda la información relativa a la interacción entre las mismas. La importancia de las nuevas definiciones radica en que, gracias a ellas, podemos utilizar algunos teoremas y resultados de teoría espectral de grafos y sus respectivos cocientes para estudiar propiedades espectrales de redes múltiplex y su representación agregada. Finalmente, también introducimos la noción de matriz de caminos asociados a una red multiplex. En una red de una sola capa un camino es una sucesión de nodos adyacentes. En una red multiplex pueden existir distintas nociones de caminos dependiendo de la manera en que se quieran tratar los enlaces entre capas. Dada una noción de camino, a esta resultará asociada una matriz de caminos. Una vez desarrollado el lenguaje formal apto a describir una red multicapa, afrontamos el problema de la generalización de algunas medidas estructurales. En particular tratamos el caso del coeficiente de agrupamiento (tanto local como global) y la centralidad de un subgrafo. Aunque ya existían en la literatura algunas propuestas de generalización del coeficiente de agrupamiento, la mayoría de estas resultaban ser definiciones ad hoc con respecto a casos de estudios particulares, o directamente mal definidas. Las distintas medidas que proponemos en estas tesis son muy generales, bien normalizadas y se reducen a la tradicional medida de coeficiente de agrupamiento para redes de una sola capa cuando el número de capas es uno. En cuanto a la centralidad de subgrafos, utilizamos este caso particular para demonstrar la utilidad de construir sobre nociones básicas (como es la de camino) a la hora de generalizar medidas estructurales.\\ Por otro lado, mucha información respecto a la organización estructural de una red (ya sea multicapa o de una sola capa) está codificada en el espectro de la matriz de adyacencia a ella asociada así como en el del Laplaciano. Por esta razón, estudiamos las propiedades espectrales tanto de la matriz de supra-adyacencia como del supra-Laplaciano. En particular, con respecto a la matriz de supra-adyacencia, estudiamos su autovalor máximo. Éste resulta de interés ya que está en la base de medidas topológicas como la entropía de ensemble de los caminos, así como del estudio de las propiedades críticas de algunos procesos dinámicos. Por ejemplo, el valor crítico del parámetro de difusión en un modelo de propagación epidemias depende del autovalor máximo de la matriz de adyacencia. Para el estudio de este autovalor utilizamos técnicas perturbativas. Podemos definir una capa que llamamos dominante, que será aquella que tenga el mayor autovalor máximo de la matriz de adyacencia asociada a la misma. El autovalor máximo de la matriz de supra-adyacencia resulta ser igual al autovalor máximo de la capa dominante al primer orden perturbativo. Además, la corrección de segundo orden es dependiente de las correlaciones entre nodos que representan el mismo objecto en distintas capas distintas. Adicionalmente, aprovechando los resultados conocidos que relacionan el espectro de un grafo cociente con aquel de su grafo padre, estudiamos el espectro de una red multicapa a partir de su representación agregada. En particular, demostramos que los autovalores del Laplaciano de la red de capas son un subconjunto de los autovalores del supra-Laplaciano de la red multicapa, cuando todos los nodos participan en todos las capas. Este resultado nos permite estudiar la conectividad algébrica de la red multicapa, o sea el primer autovalor no-nulo y obtener algunos resultados tanto exactos como perturbativos sobre este. En concreto, las transiciones estructurales en redes multicapa son de gran interés. En esta tesis presentamos una teoría de estas transiciones que se deriva por completo de la noción de grafo cociente. Finalmente, presentamos un modelo de contagio social y estudiamos la existencia de estados meta-estables macroscópicos en los cuales una fracción finita de nodos resultan contagiados. La existencia de una capa dominante hace que sea esta la que determine el valor crítico del contagio, definido como el valor de este parámetro a partir del cual existe un estado macroscopico de la infección (también para las capas no-dominantes). Este resultado se derivada utilizando el método perturbativo para calcular el autovalor máximo de la matriz de supra-adyacencia. Simulaciones numéricas del modelo confirman los resultados analíticos. Para terminar, en el presente trabajo exponemos nuestras conclusiones a manera de resumen por un lado, y por otra, discutiendo cuáles son los aspectos que a nuestro criterio, podrían ser de interés para futuras investigaciones en este tema

Complex network tools to enable identification of a criminal community

Retrieving criminal ties and mining evidence from an organised crime incident, for example money laundering, has been a difficult task for crime investigators due to the involvement of different groups of people and their complex relationships. Extracting the criminal association from enormous amount of raw data and representing them explicitly is tedious and time consuming. A study of the complex networks literature reveals that graph-based detection methods have not, as yet, been used for money laundering detection. In this research, I explore the use of complex network analysis to identify the money laundering criminals’ communication associations, that is, the important people who communicate between known criminals and the reliance of the known criminals on the other individuals in a communication path. For this purpose, I use the publicly available Enron email database that happens to contain the communications of 10 criminals who were convicted of a money laundering crime. I show that my new shortest paths network search algorithm (SPNSA) combining shortest paths and network centrality measures is better able to isolate and identify criminals’ connections when compared with existing community detection algorithms and k-neighbourhood detection. The SPNSA is validated using three different investigative scenarios and in each scenario, the criminal network graphs formed are small and sparse hence suitable for further investigation. My research starts with isolating emails with ‘BCC’ recipients with a minimum of two recipients bcc-ed. ‘BCC’ recipients are inherently secretive and the email connections imply a trust relationship between sender and ‘BCC’ recipients. There are no studies on the usage of only those emails that have ‘BCC’ recipients to form a trust network, which leads me to analyse the ‘BCC’ email group separately. SPNSA is able to identify the group of criminals and their active intermediaries in this ‘BCC’ trust network. Corroborating this information with published information about the crimes that led to the collapse of Enron yields the discovery of persons of interest that were hidden between criminals, and could have contributed to the money laundering activity. For validation, larger email datasets that comprise of all ‘BCC’ and ‘TO/CC’ email transactions are used. On comparison with existing community detection algorithms, SPNSA is found to perform much better with regards to isolating the sub-networks that contain criminals. I have adapted the betweenness centrality measure to develop a reliance measure. This measure calculates the reliance of a criminal on an intermediate node and ranks the importance level of each intermediate node based on this reliability value. Both SPNSA and the reliance measure could be used as primary investigation tools to investigate connections between criminals in a complex network