Numerische Approximation quasiperiodischer invarianter Tori unter Anwendung erweiterter Systeme

Abstract This thesis presents an algorithm for the computation of quasi-periodic invariant tori. The algorithm is based on an invariance equation for tori which are densely filled by a quasi-periodic orbit. This equation is derived without introducing (local) torus coordinates, which greatly simplifies the construction of discretisation methods and distinguishes the approach discussed here from earlier ones. Similar to periodic solutions of autonomous systems, a solution of the invariance equation has a free phase for each unknown basic frequency. These free phases can be fixed by extending the equation by phase conditions. The phase conditions given here are generalisations of the well-known integral condition for periodic orbits. It is shown that an approximate solution of the extended invariance equation can be computed using Newton's method for functions. Concrete algorithms are constructed by discretising the extended invariance equation using finite-difference and, for comparison, Fourier-Galerkin methods. These methods are independent of the stability-type of the torus. Convergence of the finite-difference method is shown under the restrictions that the system is available in a partitioned form and that the torus is attractive or attractive after reversal of time, respectively. The proof of stability is still open for the extended system. A pseudo-arc-length continuation based on the methods discussed here (as correctors) is implemented in the software package {\tt torcont}. It was successfully tested on numerous examples, some of which are discussed in this thesis.In der vorliegenden Arbeit wird ein Algorithmus zur Approximation quasiperiodischer invarianter Tori entwickelt. Er basiert auf einer Invarianzgleichung für Tori die von einer quasiperiodischen Lösung dicht ausgefüllt werden. Für die Herleitung dieser Gleichung ist keine Transformation des Systems in (lokale) Toruskoordinaten nötig, was die Konstruktion von Diskretisierungsverfahren erheblich vereinfacht und den vorgestellten Zugang von Früheren unterscheidet. In Analogie zu periodischen Lösungen autonomer Systeme besitzt auch eine Lösung dieser Gleichung für jede unbekannte Basisfrequenz jeweils eine freie Phase, die durch Erweiterung der Gleichung um Phasenbedingungen fixiert werden können. Die hier konstruierten Phasenbedingungen sind dabei Verallgemeinerungen der für periodische Orbits bekannten Integralbedingung. Für die erweiterte Invarianzgleichung wird die Durchführbarkeit des Newton-Verfahrens für Funktionen gezeigt. Konkrete Algorithmen werden durch Diskretisierung der Invarianzgleichung mittels Finiten-Differenzen- und, für Vergleichsrechnungen, Fourier-Galerkin-Verfahren konstruiert. Diese sind unabhängig vom Stabilitätstyp des Torus. Die Konvergenz der Finiten-Differenzen-Methode wird unter den Einschränkungen nachgewiesen, daß das System partitioniert vorliegt und der Torus asymptotisch stabil bzw. nach Zeitumkehr asymptotisch stabil ist. Der Nachweis der Stabilität des um Phasenbedingungen erweiterten diskretisierten Systems ist noch offen. m Softwarepaket torcont, wurde eine Pseudo-Bogenlängen-Parameterfortsetzung auf der Grundlage der beschriebenen Verfahren (als Korrektor) implementiert und an zahlreichen Beispielen erfolgreich getestet, von denen eine Auswahl in der vorliegenden Arbeit diskutiert wird

H2-matrix-arithmetic based on low-rank updates

Viele naturwissenschaftliche Phänomene lassen sich durch Differential- oder Integralgleichungen beschreiben. Bei typischen Diskretisierungen dieser Probleme entstehen große lineare Gleichungssysteme. Ein häufig verwendeter Ansatz zum Lösen dieser Gleichungssysteme sind iterative Verfahren, die schrittweise die näherungsweise Lösung verbessern. Dabei ist die Verbesserung, die in jedem Schritt erreicht wird, meistens von der Kondition der Systemmatrix abhängig. Deshalb werden zum effizienten Lösen solcher Probleme Vorkonditionierer verwendet, die die Inverse der Systemmatrix approximieren. An dieser Stelle setzt diese Arbeit an, die einen neuen Ansatz für eine approximative Arithmetik für H2-Matrizen vorstellt, mit der robuste Vorkonditionierer konstruiert werden können. Die H2-Matrizen verwenden hierarchische Partitionen der Indexmengen der Matrix, eine hierarchische Blockpartition der Matrix und faktorisierte Niedrigrang-Darstellungen für gewisse Blöcke. Damit erreichen H2-Matrizen einen Speicheraufwand in O(kn), wobei n die Matrix-Dimension und k den Rang der Niedrigrang-Darstellung beschreibt. Der Aufwand für die Matrix-Vektor-Multiplikation besitzt die gleiche Komplexität. Die hierarchische Blockpartition erlaubt es, arithmetische Operationen wie die Inversion oder die Cholesky-Zerlegung auf die Matrix-Matrix-Multiplikation für H2-Matrizen zurückzuführen. Dabei werden die gleichen Ansätze verwendet wie für H-Matrizen, die eine andere Niedrigrang-Darstellung nutzen und einen Speicheraufwand in O(kn log(n)) haben. Die in dieser Arbeit präsentierte Matrix-Matrix-Multiplikation für H2-Matrizen stellt eine Adaption des H-Algorithmus dar, der auf Niedrigrangupdates für H-Matrizen basiert. Die vorgestellten Niedrigrangupdates für H2-Matrizen verwenden eine Adaption eines Rekompression-Algorithmus für H2-Matrizen, die nur einen Teil der Matrix rekomprimiert. Wir untersuchen den Aufwand der Niedrigrangupdates und den entstehenden Approximationsfehler, der durch Fehlertoleranzen gesteuert werden kann. Mit Hilfe des Updates können wir die Arithmetik formulieren, deren Aufwand für Matrix-Produkt, Inversion und Cholesky-Zerlegung in O(k^2n log(n)) liegt. Damit sparen wir wie beim Speicheraufwand einen log(n)-Faktor im Vergleich zu den H-Matrizen ein. Zusätzlich stellen wir eine Variante für das Niedrigrangupdate und das Matrix-Produkt vor, die den Rechenaufwand für dreidimensionale Probleme deutlich reduziert. Als numerische Experimente betrachten wir elliptische partielle Differentialgleichungen und Integralgleichungen. Die Probleme lösen wir mit dem cg-Verfahren, das wir mit Hilfe der approximierten Cholesky-Zerlegung im H2-Matrix-Format vorkonditionieren. Dabei zeigt sich der Vorkonditionierer robust bezüglich der betrachteten Geometrien und für die Differentialgleichung bezüglich springender Koeffizienten.Many processes in nature can be described by differential or integral equations. Typical discretisation schemes lead to large systems of linear equations. Often iterative solvers are used to improve the approximate solution of the system of equations. The improvement in every step depends on the condition of the system matrix. Thus preconditioners which approximate the inverse of the system matrix are applied to solve such problems efficiently. This study presents a new approach for an approximate arithmetic for H2-matrices which allows the construction of robust preconditioners. The H2-matrices use a hierarchical partition of the index sets of the matrix, a block partition of the matrix and factorized low rank representations for certain blocks. Thereby the H2-matrices have a storage requirement in O(kn) with matrix dimension n and rank k for the low rank representations. The matrix-vector multiplication has the same complexity. The hierarchical block partition allows to reduce arithmetic operations like inversion or the Cholesky decomposition to the matrix-matrix multiplication for H2-matrices. The techniques for the reduction are the same as for H-matrices that use another low rank representation and reach a storage requirement in O(kn log(n)). The matrix-matrix multiplication for H2-matrices presented in this study is an adaption of the H-matrix algorithms which are based on low rank updates for H-matrices. The presented low rank updates for H2-matrices are an adaption of a recompression algorithm for H2-matrices which recompresses only a part of the matrix. We will discuss the computing time and the resulting approximation error, which can be controlled by error tolerances. With the help of the updates we can define the arithmetic with computing time in O(k^2n log(n)) for the matrix-matrix multiplikations, the inversions and the Cholesky decompositions. In comparison to H-matrices, we save a factor log(n) for the storage requirement. In addition, we present a variant of the low rank update and the matrix-matrix multiplication which reduces the computing time for three dimensional problem essentially. Numerical experiments are carried out for elliptic partial differential equations and integral equations. We solve the problems with the preconditioned cg-method and use approximated Cholesky decompositions in the H2-matrix format as preconditioners. In the experiments, the preconditioners are robust in respect of the considered geometries and for the differential equation relating to jumping coefficients

Rohrmodelle des Sprechtraktes : Analyse, Parameterschätzung und Syntheseexperimente

Das zeitdiskrete Rohrmodell besitzt für die Modellierung der menschlichen Sprachproduktion eine wichtige theoretische und praktische Bedeutung, da es ein mathematisch handhabbares Modell darstellt und zugleich eine vereinfachte akustische Beschreibung des Sprechtraktes beinhaltet. Dies ist einerseits begründet durch die modellhafte Beschreibung der Ausbreitung von ebenen Wellen durch den Sprechtrakt und andererseits in der Darstellung des Rohrmodells als zeitdiskretes lineares System. Erst durch die Verfügbarkeit von adäquaten Schätzalgorithmen, welche die Modellparameter aus dem Sprachsignal bestimmen, ist das Rohrmodell für Anwendungen in der Sprachverarbeitung interessant. Diese liegen allerdings nur für die einfachsten unverzweigten Rohrmodelle vor, welche den Sprechtrakt nur stark vereinfacht modellieren. Für erweiterte Rohrmodelle existieren nur in eingeschränkter Weise adäquate Schätzalgorithmen, mit denen die Modellparameter aus dem Sprachsignal geschätzt werden können. Daher wird mit dieser Arbeit versucht diesen Mißstand aufzulösen, wofür Schätzalgorithmen auch für erweiterte Rohrmodelle entwickelt und vorgestellt werden. Die Erweiterungen des Rohrmodells beziehen sich auf Rohrverzweigungen, die auch mehrfach auftreten können, und Rohrabschlüsse, die frequenzabhängig oder zeitvariabel sein können. Zusätzlich werden Sprechtraktmodelle behandelt, die zwei Systemausgänge aufweisen. Dies wird für Analysen von getrennt aufgenommenen Mund- und Nasensignalen von nasalierten Lauten diskutiert, um die Lippen- und Nasenabstrahlung einzeln zu berücksichtigen. Ebenso werden verzweigte Modelle mit zwei Systemausgängen für eine Beschreibung des Nasaltraktes unter Berücksichtigung der beiden Nasengänge behandelt. Die Erweiterungen des Rohrmodells durch Verzweigungen und angepaßte Rohrabschlüsse ermöglichen eine genauere Beschreibung des Sprechtraktes infolge der Verzweigungen durch den Nasaltrakt und infolge der Abschlüsse an den Lippen, Nasenlöchern und der Glottis. Die Parameterbestimmung wird durch Minimierung eines Fehlers durchgeführt, welcher ein spektrales Abstandsmaß zwischen dem Rohrmodell und dem analysierten Sprachsignal darstellt. Für die Definition des Fehlers wird die inverse Filterung herangezogen, welche eine Leistungsminimierung des Ausgangssignals des inversen Systems beinhaltet. Dabei hat sich gezeigt, daß die Fehlerdefinition der inversen Filterung modifiziert werden muß, um auch erfolgreich auf erweiterte Rohrmodelle angewendet werden zu können. Die Modifikation kann für erweiterte Rohrmodelle einheitlich für den zeitinvarianten und zeitvariablen Fall vorgestellt werden. Über den allgemeinen Ansatz der Schätzung hinaus werden auch effiziente Schätzverfahren für ausgewählte Rohrstrukturen und allgemeine Pol-Nullstellen-Systeme vorgestellt. Die diskutierten Schätzverfahren ermöglichen eine gute Approximation der Sprachspektren durch die Modellbetragsgänge. Darüber hinaus konnte auch gezeigt werden, daß durch entsprechende Rohrmodellstrukturen und eine geeignete Vorverarbeitung des Sprachsignals realistische Querschnittsflächen des Sprechtraktes geschätzt werden können. Daher eignen sich die erweiterten Sprechtraktmodelle auch für die Sprachproduktion. In Synthesebeispielen wurden Lautübergänge auf der Basis von geschätzten Vokaltraktflächen realisiert und in Resynthesebeispielen mittels unverzweigter Rohrmodelle wurde insbesondere die Anregung der Modelle diskutiert. Daß durch die Verwendung von Rohrmodellen auch Lauttransformationen möglich sind, zeigt die vorgestellte künstliche Nasalierung von Sprachsignalen unnasalierter Laute, welche mittels verzweigter Rohrmodelle und Analysen von getrennt aufgenommenen Mund- und Nasensignalen erreicht werden konnte

Potenzial Bayes'scher Netze zur Unterstützung der Produktionsplanung und -steuerung

Das Potenzial Bayes'scher Netze (BNe) zur Unterstützung der Produktionsplanung und -steuerung (PPS) wird identifiziert, untersucht und aufgezeigt - sowohl theoretisch als auch praktisch. Der theoretisch geprägte Teil stellt dar, dass sich BNe aufgrund ihrer Eigenschaften und Fähigkeiten besonders gut zur Lösung bestimmter Probleme der PPS eignen. Zudem stellt er BNe alternativen Verfahren zur Unterstützung der PPS gegenüber. Der praxisorientierte Teil untermauert die Erkenntnisse aus der Theorie. Ein Softwaresystem zur Wissensverarbeitung mittels BNe wird entworfen und implementiert. Es werden geeignete Probleme der PPS ausgewählt, konkretisiert und mittels des Softwaresystems gelöst. Die Auswertung und Interpretation der Ergebnisse der Experimente gipfelt in der Aussage, dass BNe ein Potenzial zur Unterstützung der PPS aufweisen und dass sich BNe sehr gut zur Lösung bestimmter Probleme der PPS eignen

Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen

In der vorliegenden Arbeit werden effiziente adaptive Diskretisierungsverfahren zur numerischen Lösung parabolischer Probleme vorgestellt. Hierbei gelingt es erstmalig, aufbauend auf speziellen diskreten Funktionenräumen, den sogenannten Raum-Zeit Dünngitterräumen, parabolische Probleme mit der gleichen Komplexität im Speicher- und Rechenaufwand wie stationäre elliptische Probleme zu lösen. Obwohl wesentlich weniger Freiheitsgrade als bei klassischen parabolischen Diskretisierungsverfahren benötigt werden, erreichen wir mit den vorgestellten Verfahren die (bis auf einen logarithmischen Faktor) gleichen Konvergenzraten wie bei herkömmlichen Diskretisierungen. Hierzu werden lediglich etwas stärkere Glattheitsvoraussetzungen an die Lösung des parabolischen Problems benötigt. Es wird jedoch in dieser Arbeit gezeigt, dass diese Glattheitsvoraussetzungen bei geeigneten Annahmen an das Gebiet, die rechte Seite und die Anfangs- und Randbedingungen für die Lösung parabolischer Probleme erfüllt sind. Ferner stellen wir für den Fall, dass die zu approximierende Funktion nicht genügend glatt ist, eine adaptive Erweiterung des Verfahrens in Raum und Zeit vor. Die resultierenden adaptiven Diskretisierungen weisen in den numerischen Experimenten für Probleme mit nicht glatten Lösungen nahezu die gleiche Effizienz wie die nicht adaptiven Diskretisierungsverfahren für Probleme mit genügend glatten Lösungen auf. Besonders bemerkenswert ist hierbei, dass das vorgestellte adaptive Verfahren automatisch zu lokalen Zeitschritten (local time stepping) führt, deren Umsetzung bei herkömmlichen Diskretisierungen algorithmisch aufwändig ist. Zur effizienten Lösung der bei der Diskretisierung anfallenden linearen Gleichungssysteme werden in dieser Arbeit Multilevellöser in Raum-Zeit entwickelt. Wir untersuchen die Konvergenzeigenschaften der Löser an numerischen Beispielen, die zeigen, dass die Konvergenzraten von der Feinheit der Diskretisierung unabhängig sind. Zum Abschluss verwenden wir die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen zur numerischen Lösung der zu instationären verteilten Kontrollprobleme gehörenden Sattelpunktsprobleme. Während bisherige Arbeiten zur Diskretisierung dieser Sattelpunktsprobleme auf Grund der hohen Zahl an Freiheitsgraden klassischer Diskretisierungsverfahren hierbei lediglich zwei Ortsdimensionen behandeln, sind wir mit den Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der Lage, erstmals auch Probleme in drei Ortsdimensionen zu behandeln. Hierzu erweitern wir die Multilevelöser und die Adaptivität auf die Lösung von Systemen parabolischer Differentialgleichungen. Unterschiedliche numerische Beispiele demonstrieren dabei die Effizienz der adaptiven Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zur Lösung der Sattelpunktsprobleme in bis zu drei Ortsdimensionen

Chronologie der Naturwissenschaften: Der Weg der Mathematik und der Naturwissenschaften von den Anfängen in das 21. Jahrhundert

Das Werk ist eine Chronologie der mathematisch-naturwissenschaftlichen Entdeckungen und deren Protagonisten. Es enthält ca. zwölftausend Einträge über Entdeckungen und Erfindungen mit den Namen jener Personen, die in den einzelnen Disziplinen (Mathematik, Physik, Chemie, Astro-, Geo- und Biowissenschaften) Entdeckungen gemacht haben. Das Nachschlagewerk ist nach Jahren geordnet und umfasst den Zeitraum zwischen 10.000 v.Chr. bis 1990. Das Werk ergibt damit ein Bild von dem langen und komplizierten Prozess, der von den ersten Erfahrungen und Erkenntnissen über die Natur zu einzelnen wissenschaftlichen Kenntnissen über deren Teilgebiete, dann zu systematischem Wissen über diese Teilgebiete und schließlich zu den heutigen Naturwissenschaften führte. Für die Vor- und Frühgeschichte sind dabei auch Leistungen berücksichtigt, denen das Attribut der Wissenschaftlichkeit zwar nur bedingt zuerkannt werden kann, deren Aufnahme jedoch unabdingbar ist, um die historischen Entwicklungslinien im vollen Umfang nachzuzeichnen. Die Geowissenschaften sind in ihrer ganzen, auch die Länder- bzw. Völkerkunde umfassenden Breite vertreten, wobei auch die Anfänge jener Entwicklungen berücksichtigt wurden, die später zu den heute oft als Humangeographie bezeichneten sozial- und geisteswissenschaftlichen Komponenten der Geowissenschaften (Sozial-, Verkehrs-, Wirtschaftsgeographie usw.) führten. Zudem enthält das Werk Daten zu frühen Universitätsgründungen, zur Formierung verschiedener philosophischer Ideen und Systeme, zur Entstehung bedeutender Akademien, zur Gründung von Vereinigungen der einzelnen Disziplinen, zur Herausgabe von Zeitschriften und zur Konstruktion von wissenschaftlichen Geräten, die – wie Mikroskop, Fernrohr oder Teilchenbeschleuniger – die weitere Forschung maßgeblich beeinflussten. Eine besondere Rolle spielte die Umsetzung naturwissenschaftlicher Ideen in technologischen Verfahren und die sich dabei ergebenden Rückwirkungen auf den Erkenntnisfortschritt in der jeweiligen Disziplin. Die Fülle der Einträge ermöglicht es, eine Vorstellung von den bestimmenden Entwicklungslinien der einzelnen naturwissenschaftlichen Gebiete und der Mathematik in einem beliebigen Zeitraum zu gewinnen und zu erkennen, welchen Platz sie und ihre Disziplinen in der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft eingenommen haben bzw. wie sich diese Rolle im Laufe der Jahrhunderte veränderte. Zugleich werden auch die Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Disziplinen deutlich.:Geleitwort Vorwort und Danksagung Benutzerhinweise Autoren und deren Beiträge Epochen Vorgeschichte und frühe Hochkulturen Griechisch-hellenistische Antike Mittelalter Renaissance, Humanismus, Reformation Wissenschaftliche Revolution und Rationalismus Die Zeit des Durchbruchs zur Industriewirtschaft Der Industriekapitalismus am Ende des 19. und im Übergang ins 20. Jahrhundert Die Herausbildung der modernen Naturwissenschaften Die Zeit des kalten Krieges Verzeichnisse Verzeichnis der Nobelpreisträger Literaturverzeichnis Personenverzeichnis Sachwortverzeichni