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Invariant subspaces and invertibility properties for singular systems: The general case
Control Systems;operations research
Controllability of linear differential-algebraic systems - A survey
Different concepts related to controllability of differential-algebraic equations are described. The class of systems considered consists of linear differential-algebraic equations with constant coefficients. Regularity, which is, loosely speaking, a concept related to existence and uniqueness of solutions for any inhomogeneity, is not required in this article. The concepts of impulse controllability, controllability at infinity, behavioral controllability, strong and complete controllability are described and defined in time-domain. Equivalent criteria that generalize the Hautus test are presented and proved.
Special emphasis is placed on normal forms under state space transformation and, further, under state space, input and feedback transformations. Special forms generalizing the Kalman decomposition and Brunovsky form are presented. Consequences for state feedback design and geometric interpretation of the space of reachable states in terms of invariant subspaces are proved
On differential-algebraic control systems
In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische
Gleichungen (differential-algebraic equations, DAEs) der Form \ddt E x =
Ax + f betrachtet, wobei und beliebige Matrizen sind. Falls
nichtverschwindende Einträge hat, dann kommen in der Gleichung Ableitungen
der entsprechenden Komponenten von vor. Falls eine Nullzeile hat,
dann kommen in der entsprechenden Gleichung keine Ableitungen vor und sie
ist rein algebraisch. Daher werden Gleichungen vom Typ \ddt E x = Ax + f
differential-algebraische Gleichungen genannt.
Ein Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer DAE
in vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten Anteil,
einen unterbestimmten Anteil und einen überbestimmten Anteil. Jeder Anteil
beschreibt ein anderes Lösungsverhalten in Hinblick auf Existenz und
Eindeutigkeit von Lösungen für eine vorgegebene Inhomogenität und
Konsistenzbedingungen an . Die Zerlegung, namentlich die quasi-Kronecker
Form (QKF), verallgemeinert die wohlbekannte Kronecker-Normalform und
behebt einige ihrer Nachteile.
Die QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrollierbarkeit
und Stabilisierbarkeit für DAEs mit~ zu studieren. Hier bezeichnet
den Eingang des differential-algebraischen Systems. Es werden
Zerlegungen unter System- und Feedback-Äquivalenz, sowie die Folgen einer
Behavioral-Steuerung für die Stabilisierung des Systems
untersucht.
Falls für das DAE-System zusätzlich eine Ausgangs-Gleichung gegeben
ist, dann lässt sich das Konzept der Nulldynamik wie folgt definieren: die
Nulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am Ausgang nicht sichtbar
ist, d.h. die Menge aller Lösungs-Trajektorien mit . Für
rechts-invertierbare Systeme mit autonomer Nulldynamik wird eine Zerlegung
hergeleitet, welche die Nulldynamik entkoppelt. Diese versetzt uns in die
Lage, eine Behavior-Steuerung zu entwickeln, die das System stabilisiert,
vorausgesetzt die Nulldynamik selbst ist stabil.
Wir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigenschaften
der oben genannten System-Klasse profitieren: Hochverstärkungs- und
Funnel-Regelung. Ein System \ddt E x = Ax + Bu, , hat die
Hochverstärkungseigenschaft, wenn es durch die Anwendung der proportionalen
Ausgangsrückführung , mit hinreichend groß, stabilisiert
werden kann. Wir beweisen, dass rechts-invertierbare Systeme mit
asymptotisch stabiler Nulldynamik, die eine bestimmte Relativgrad-Annahme
erfüllen, die Hochverstärkungseigenschaft haben. Während der
Hochverstärkungs-Regler recht einfach ist, ist es jedoch a priori nicht
bekannt, wie groß die Verstärkungskonstante gewählt werden muss. Dieses
Problem wird durch den Funnel-Regler gelöst: durch die adaptive Justierung
der Verstärkung über eine zeitabhängige Funktion und die
Ausnutzung der Hochverstärkungseigenschaft wird erreicht, dass große Werte
nur dann angenommen werden, wenn sie nötig sind. Eine weitere
wesentliche Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente
Verhalten des Fehlers der Bahnverfolgung, wobei die Referenztrajektorie ist, beachtet. Für einen vordefinierten
Performanz-Trichter (funnel) wird erreicht, dass .
Schließlich wird der Funnel-Regler auf die Klasse von MNA-Modellen von
passiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen invarianten
Nullstellen angewendet. Dies erfordert die Einschränkung der Menge der
zulässigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser Weise, die
Kirchhoffschen Gesetze punktweise erfüllen.In this dissertation we study differential-algebraic equations (DAEs) of the form Ex'=Ax+f. One aim of the thesis is to derive the quasi-Kronecker form (QKF), which decomposes the DAE into four parts: the ODE part, nilpotent part, underdetermined part and overdetermined part. Each part describes a different solution behavior.
The QKF is exploited to study the different controllability and stabilizability concepts for DAEs with f=Bu, where u is the input of the system. Feedback decompositions, behavioral control and stabilization are investigated.
For DAE systems with output equation y=Cx, we may define the concept of zero dynamics, which are those dynamics that are not visible at the output. For right-invertible systems with autonomous zero dynamics a decomposition is derived, which decouples the zero dynamics of the system and allows for high-gain and funnel control. It is shown, that the funnel controller achieves tracking of a reference trajectory by the output signal with prescribed transient behavior.
Finally, the funnel controller is applied to the class of MNA models of passive electrical circuits with asymptotically stable invariant zeros
Zero dynamics and funnel control of general linear differential-algebraic systems
We study linear differential-algebraic multi-input multi-output systems which are not necessarily regular and investigate the zero dynamics and tracking control. We use the concepts of autonomous zero dynamics and (E,A,B)-invariant subspaces to derive the so called zero dynamics form - which decouples the zero dynamics of the system - and exploit it for the characterization of system invertibility. Asymptotic stability of the zero dynamics is characterized and some implications for stabilizability in the behavioral sense are shown. A refinement of the zero dynamics form is then exploited to show that the funnel controller (that is a static nonlinear output error feedback) achieves - for a special class of right-invertible systems with asymptotically stable zero dynamics - tracking of a reference signal by the output signal within a pre-specified performance funnel. It is shown that the results can be applied to a class of passive electrical networks