A primer on triangle functions II

In [32] we presented an overview of concepts, facts and results on triangle functions based on the notions of t-norm, copula, (generalized) convolution, semicopula, quasi-copula. Here, we continue our presentation. In particular, we treat the concept of duality and study a few important cases of functional equations and inequalities for triangle functions like, e.g., convolution, Cauchy's equation, dominance, and Jensen convexity

Copula-based orderings of multivariate dependence

In this paper I investigate the problem of defining a multivariate dependence ordering. First, I provide a characterization of the concordance dependence ordering between multivariate random vectors with fixed margins. Central to the characterization is a multivariate generalization of a well-known bivariate elementary dependence increasing rearrangement. Second, to order multivariate random vectors with non- fixed margins, I impose a scale invariance principle which leads to a copula-based concordance dependence ordering. Finally, a wide family of copula-based measures of dependence is characterized to which Spearmanís rank correlation coefficient belongs.copula, concordance ordering, dependence measures, dependence orderings, multivariate stochastic dominance, supermodular ordering

Copula-Based Dependence Characterizations and Modeling for Time Series

This paper develops a new unified approach to copula-based modeling and characterizations for time series and stochastic processes. We obtain complete characterizations of many time series dependence structures in terms of copulas corresponding to their finite-dimensional distributions. In particular, we focus on copula- based representations for Markov chains of arbitrary order, m-dependent and r-independent time series as well as martingales and conditionally symmetric processes. Our results provide new methods for modeling time series that have prescribed dependence structures such as, for instance, higher order Markov processes as well as non-Markovian processes that nevertheless satisfy Chapman-Kolmogorov stochastic equations. We also focus on the construction and analysis of new classes of copulas that have flexibility to combine many different dependence properties for time series. Among other results, we present a study of new classes of cop- ulas based on expansions by linear functions (Eyraud-Farlie-Gumbel-Mongenstern copulas), power functions (power copulas) and Fourier polynomials (Fourier copulas) and introduce methods for modeling time series using these classes of dependence functions. We also focus on the study of weak convergence of empirical copula processes in the time series context and obtain new results on asymptotic gaussianity of such processes for a wide class of beta mixing sequences.

Dependence in probabilistic modeling, Dempster-Shafer theory, and probability bounds analysis.

This report summarizes methods to incorporate information (or lack of information) about inter-variable dependence into risk assessments that use Dempster-Shafer theory or probability bounds analysis to address epistemic and aleatory uncertainty. The report reviews techniques for simulating correlated variates for a given correlation measure and dependence model, computation of bounds on distribution functions under a specified dependence model, formulation of parametric and empirical dependence models, and bounding approaches that can be used when information about the intervariable dependence is incomplete. The report also reviews several of the most pervasive and dangerous myths among risk analysts about dependence in probabilistic models

The multivariate directional approach: high level quantile estimation and applications to finance and environmental phenomena

Mención Internacional en el título de doctorThe aim of this thesis is to introduce a directional multivariate approach to analyze extremes. The proposal point out the importance of two factors from the dimensional world we live in, the center of reference and the direction of observation. These factors are inherent to the multivariate setting and allow us to introduce manager preferences or external information available for the system of interest. The key definition in which is based this thesis is the notion of directional multivariate quantiles. It is introduced in Chapter 1 jointly with its properties which help to develop directional risk analysis. Besides, Chapter 1 describes the background and motivation for the directional multivariate approach. The rest of the chapters are devoted to the main contributions of the thesis. Chapter 2 introduces a directional multivariate risk measure which is a multivariate extension of the well-known univariate risk measure Value at Risk (VaR), which is defined as a quantile of the distribution of the random loss at level and it has become a benchmark in fields such as Economy, Insurance and Finance. Properties for the proposed multivariate risk measure are provided as extensions of the axiomatic for univariate risk measures given in the literature. We have also proved relationships between the univariate VaR evaluated on the marginal loss and the component associated to that marginal loss in our vector-valued proposal. Chapter 2 also highlights the importance of using directions thanks to a result providing a conservative bound (upper bound) of the total risk in a portfolio investment by using the direction of the weights of investment to analyze such loss. In the literature, copula models are frequently used to model the loss, thus solutions of our risk measure for some of these models are shown and a non-parametric approach to estimate the output in more general cases is also provided. Finally, a study of robustness in comparison with other vector-valued risk measure found in the literature is developed. Chapter 3 is focused on the formal definition and estimation of the directional multivariate extremes. Given that environmental science possesses different phenomena where join behavior of variables may cause disasters, two real cases of study are analyzed. In the literature, it is possible to find copula theory to model those dependencies, which leads us to introduce the directional approach to the copula framework. Thus, advantages and disadvantages between non-parametric approaches and theoretical copula approaches are highlighted in this chapter. Moreover, it is presented a proposal to choose a suitable direction of analysis by considering the direction of the maximum variability on the data, which links the use of Principal Component Analysis (PCA). Applications are performed on the real cases of study of flood risk at a dam (3 dimensional case) and sea storms (5 dimensional case). In extreme value theory, it is known that standard non-parametric methods can not be applied to estimate quantiles at high levels. Therefore, a different approach known as out-sample estimation must be considered. In this sense, Chapter 4 introduces the necessary background to face the multivariate extreme value theory. Then, results including the directional approach to the multivariate extreme value theory are given. An estimator of the directional multivariate quantiles is provided and its asymptotic normality is also proved. Finally, it is presented a nonparametric methodology to accomplish the goal of estimation, with an illustration using the multivariate distribution for which are known all the theoretical elements of the estimation process. Finally, Chapter 5 summarizes the conclusions of the thesis, open questions and future works are also commented.El objetivo de esta tesis es el de introducir aspectos direccionales a las metodologías multivariantes utilizadas para el análisis de extremos y problemas derivados. Se explica en el documento que la utilización de direcciones en determinadas situaciones posibilitan considerar información externa o preferencias particulares del analista. El elemento matemático clave en este proyecto es la definición de cuantil direccional multivariante. Las propiedades que satisface y otras nociones relacionadas con esta definición son las bases que fundamentan los desarrollos teóricos y sus aplicaciones al análisis de riesgo, las cuales constituyen las contribuciones de esta tesis. Después de una introducción de conceptos preliminares y motivaciones dadas en el Capítulo 1, los Capítulos 2 a 4 recogen las siguientes aportaciones: En el Capítulo 2, se introduce una extensión direccional multivariante del Value at Risk, el cual en dimensión uno es un referente en campos como economía, seguros y finanzas, y se define como un cuantil a nivel para la distribución de la variable de pérdidas. Nuestra propuesta describe una medida de riesgo de resultado vectorial basada en los cuantiles direccionales multivariantes. Se estudian sus propiedades como una extensión de la axiomática definida para medidas de riesgo univariantes y también se presentan relaciones entre el valor de la medida de riesgo univariante VaR, aplicada sobre las marginales del vector de pérdidas, y los valores de las correspondientes componentes de la medida de riesgo propuesta. En este Capítulo se fundamenta la importancia de las direcciones, gracias a la cota conservadora (cota superior) de pérdida total que permite establecer nuestra propuesta a través del análisis en la dirección del vector de pesos de la inversión Se analizan expresiones cerradas de solución para la medida de riesgo direccional multivariante en modelos de copula de alta aplicación en la teoría financiera y se presenta un método de estimación no-paramétrico para el resultado de dicha medida en ámbitos generales. Finalmente, se presenta un análisis de robustez sobre los resultados obtenidos para la medida propuesta ante presencia de atípicos en la muestra, obteniendo buen comportamiento especialmente en casos de alta presencia de atípicos, en comparación con la única medida de valor vectorial encontrada en la literatura a la fecha. El Capítulo 3 se ha centrado en la definición de extremos direccionales y en la descripción de una metodología de detección no-paramétrica de los mismos. Se presentan casos de estudio reales en el ámbito de la ingeniería ambiental, dado que en los fenómenos ambientales se requiere del análisis conjunto de variables cuya dependencia conlleva a resultados catastróficos en muchas situaciones. Debido a la necesidad de modelar estas dependencias, una de las herramientas más utilizadas en la literatura son las cópulas. Por tanto, en este Capítulo se presentan las ventajas y desventajas de los métodos de copula y direccional no-paramétrico, y se plantea la inclusión del enfoque direccional para las metodologías basadas en cópulas. Se presenta una interesante alternativa de dirección a través de la dirección de máxima variabilidad en los datos, lo cuál genera la inclusión de análisis de componentes principales a la metodología propuesta. Finalmente se analizan los casos reales de riesgo de inundación en una presa (en 3 dimensiones) y de tormentas costeras extremas (en 5 dimensiones), así como casos simulados que complementan la importancia del análisis direccional. Por otra parte, es bien conocido que las metodologías clásicas de estimación no paramétrica fallan cuando se desea realizar análisis para niveles altos del cuantil incluso en el caso univariante, es decir, para muy cercano a o , lo cual se conoce en la literatura como estimación out-sample y para abordarlo es necesario recurrir a resultados asintóticos de la teoría de valores extremos. Nuestra propuesta no se encuentra exenta de esta necesidad y en el Capítulo 4 se describen las hipótesis necesarias para introducir una metodología de estimación out-sample para los cuantiles multivariantes direccionales. Adicionalmente, se prueban resultados que incluyen el enfoque direccional en el marco de la teoría de valores extremos multivariante y se demuestra también la propiedad de normalidad asintótica para el estimador propuesto. Finalmente, se presenta el comportamiento del estimador a través de un ejemplo basado en la distribución multivariante, para la cual los resultados teóricos de los cuantiles direccionales son conocidos, así como los valores teóricos de los elementos necesarios para el proceso de estimación. Finalmente, en el Capítulo 5 se presentan las conclusiones de la tesis y problemas abiertos para futuros trabajos de investigación.Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería MatemáticaPresidente: Ignacio Cascos Fernández.- Secretario: José María Fernández Ponce.- Vocal: Elena di Bernardin

Tensor approximation of generalized correlated diffusions and applications

This thesis documents my research activity conducted in the past three years at the Department of Statistical Science at the University College London. My investigation is focused on functional-analytic methods applied to the characterization of generalized correlated Markov processes. The main objective of the research is to formalize the properties of such a class of stochastic processes when approximated in a tensor space. This lead to the development of a new interpretation of the correlation among processes that is exploited for the analysis of copula functions and their statistical properties