First steps towards a formalization of forcing

We lay the ground for an Isabelle/ZF formalization of Cohen's technique of forcing. We formalize the definition of forcing notions as preorders with top, dense subsets, and generic filters. We formalize a version of the principle of Dependent Choices and using it we prove the Rasiowa-Sikorski lemma on the existence of generic filters. Given a transitive set M, we define its generic extension M[G], the canonical names for elements of M, and finally show that if M satisfies the axiom of pairing, then M[G] also does. We also prove that M[G] is transitive.Fil: Gunther, Emmanuel. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía y Física. Sección Ciencias de la Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Pagano, Miguel Maria. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; Argentina. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía y Física. Sección Ciencias de la Computación; ArgentinaFil: Sanchez Terraf, Pedro Octavio. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Córdoba. Centro de Investigación y Estudios de Matemática. Universidad Nacional de Córdoba. Centro de Investigación y Estudios de Matemática; Argentina. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomia y Física. Sección Matemática; Argentin

Formalización de fundaciones de la matemática y compiladores correctos por construcción

Tesis (Doctor en Ciencias de la Computación)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2019.Dentro de las teorías fundacionales de la matemática se encuentran la Teoría de Conjuntos y la Teoría de Tipos. La primera es bien conocida en la comunidad matemática; la teoría de tipos además de ser una posible fundación, es una base para lenguajes de programación lo suficientemente expresivos para enunciar teoremas, escribir sus pruebas y que su corrección sea verificada automáticamente. Esta tesis resume tres trabajos independientes pero relacionados entre sí. El primero consiste en el desarrollo de una metodología para definir compiladores correctos por construcción mediante el uso de tipos dependientes. Gracias a la expresividad de estos sistemas de tipos refinamos los lenguajes fuente y destino con su semántica; el tipo de la función de compilación es exactamente la preservación de la semántica. Matemáticamente podemos concebir los lenguajes como álgebras de términos de una signatura y al compilador como el homomorfismo inducido por la interpretación de una signatura en la otra. Esto nos llevó a formalizar en Agda una librería para Álgebra Universal Heterogénea, incluyendo las principales definiciones y resultados básicos, un sistema deductivo para un cálculo ecuacional y las nociones de morfismos entre signaturas y álgebras reducto. El último aporte de la tesis surge del estudio de uno de los problemas más famosos en la teoría de conjuntos: la independencia de la hipótesis del continuo (CH) respecto a la teoría ZFC. Gödel y Cohen demostraron, respectivamente, que no puede refutarse ni probarse CH en ZFC. Cohen desarrolló para ello la técnica de Forcing, que es la única manera conocida para extender modelos de ZFC. Si bien este desarrollo constituye uno de los avances más grandes en teoría de conjuntos, no existe hasta el momento ninguna formalización de Forcing en asistentes de prueba. Como parte de este doctorado hemos comenzado la formalización en el asistente Isabelle/ZF de la técnica de Forcing, llegando a probar que la extensión genérica satisface varios axiomas de ZF.Set Theory and Type Theory are known as Foundations of Mathematics. The first one is well known by mathematicians; Type Theory, besides being a foundation, is the basis for programming languages expressive enough to state theorems, write their proofs and verify their correctness automatically. This thesis summarizes three works. The first one consists of the development of a methodology to define correct-by-construction compilers, using dependent types. Thanks to the expressiveness of these type systems, we refine the syntax of source and target languages by adding information of semantics at type level; then, the type of the compiler function expresses the property of correctness. We can conceive the languages as term algebras of a signature, and the compiler as the homomorphism induced by the interpretation of a signature in other. Hence we formalized in the Agda proof assistant a library of Heterogeneous Universal Algebra, including main definitions and basic results, a deductive system for equational calculus and notions of morphisms between signatures and reduct algebras. The last contribution of this thesis is motivated by the study of one of the most famous problems in set theory: the independence of the continuum hypothesis (CH) with respect to the ZFC theory. Gödel and Cohen showed that CH cannot be refuted or proven. In his work, Cohen developed the technique of forcing, the only known way to extend models of ZFC. Despite the importance of forcing in set theory, there was no mechanization in proof assistants. Our last work consists of the first steps of a complete formalization of forcing in the Isabelle proof assistant.Gunther, Emmanuel. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina