On list decoding of wavelet codes over finite fields of characteristic two

Доказывается, что вейвлет-код над полем GF(2m) c длиной кодовых и информационных слов n = 2m — 1 и (n — 1)/2 соответственно, у которого среди коэффициентов спектрального представления порождающего многочлена имеется d + 1 последовательных нулей, 0 < d < (n — 3)/2, допускает списочное декодирование за полиномиальное время. Шаги алгоритма, осуществляющего списочное декодирование с исправлением до e < n — д/n(n — d — 2) ошибок, реализованы в виде программы. Приведены примеры её применения для списочного декодирования зашумленных кодовых слов. Отмечено, что неравенство Варшамова — Гилберта при достаточно больших n не позволяет судить о существовании вейвлет-кодов c максимальным кодовым расстоянием (n — 1) /2

Списочное декодирование вейвлет-кодов

В работе обсуждается возможность списочного декодирования вейвлет-кодов и приводится утверждение, согласно которому вейвлет-коды над полем $GF(q)$ нечетной характеристики с длиной кодовых и информационных слов $n=q-1$ и $n/2$ соответственно, а также над полем четной характеристики с длиной кодовых и информационных слов $n=q-1$ и $(n-1)/2$ соответственно допускают списочное декодирование, если среди коэффициентов спектрального представления их порождающих многочленов имеется $d+1$ последовательных нулей, $0$ &lt; $d$ &lt; $n/2$ для полей нечетной характеристики и $0$ &lt; $d$ &lt; $(n-3)/2$ для полей четной характеристики. Также описывается алгоритм, позволяющий выполнять списочное декодирование вейвлет-кодов при соблюдении перечисленных условий. В качестве демонстрации его работы приводятся пошаговые решения модельных задач списочного декодирования зашумленных кодовых слов вейвлет-кодов над полями четной и нечетной характеристики. Помимо этого, в работе построена вейвлет-версия квазисовершенного троичного кода Голея, длины его кодовых и информационных слов равны 8 и 4 соответственно, кодовое расстояние равно 4, минимальный радиус шаров с центрами в кодовых словах, покрывающих пространство слов длины 8, равен 3

Pyramid scheme for constructing biorthogonal wavelet codes over finite fields

Конструктивным образом доказывается существование биортогонального разбиения векторного пространства V размерности n над полем GF(q), а именно двух его представлений в виде прямых сумм подпространств V = W0 ®W1 ф.. .®Wj®Vj и V = Wо ф W1 ф ... ф Wj ф Vj, таких, что на j-м уровне разложения (0 < j J) Vj-1 = Vj ф Wj, Vj-1 = Vj ф Wj, подпространство Vj ортогонально Wj, а подпространство Wj ортогонально Vj. Для этого используются пары биортогональных фильтров (h,g) и (h,g). Разбиение пространства на j-м уровне разложения осуществляется при помощи пар уровневых фильтров (hj ,gj) и (hj ,gj), для построения которых разработаны и теоретически обоснованы соответствующие алгоритмы. На основе многоуровневой схемы вейвлет-разложения строится новое семейство биортогональных вейвлет-кодов со скоростью кодирования 2-L, где L — количество использованных уровней разложения, и приводятся примеры таких кодов

On Wavelet Decomposition over Finite Fields

This paper introduces some foundations of wavelets over Galois fields. Standard orthogonal finite-field wavelets (FF-Wavelets) including FF-Haar and FF-Daubechies are derived. Non-orthogonal FF-wavelets such as B-spline over GF(p) are also considered. A few examples of multiresolution analysis over Finite fields are presented showing how to perform Laplacian pyramid filtering of finite block lengths sequences. An application of FF-wavelets to design spread-spectrum sequences is presented.Comment: 4 pages, 1 figure. conference: XIX Simposio Brasileiro de Telecomunicacoes, 2001, Fortaleza, CE, Brazi

Finite-field wavelet transforms and their application to error-control coding

Ph.D.Ronald W. Schafe