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On asymptotic behaviour of one-parameter families of bounded operators on Banach spaces
El estudio del comportamiento asintótico de familias uniparamétricas (en particular, C0-semigrupos) de operadores en un espacio de Banach ha recibido mucha atención en los últimos años. La convergencia a cero de las órbitas de una familia dada es un objeto de estudio central en teoría de operadores y ecuaciones diferenciales. Bajo condiciones de muy diversa naturaleza, y motivados por sus aplicaciones en las ecuaciones diferenciales, se ha obtenido un importante número de resultados sobre estabilidad de C0-semigrupos y otras familias. Una panorámica completa de las técnicas utilizadas y los resultados obtenidos en este tema puede encontrarse en [B, CT, EN, N]. 1. RESUMEN DEL CONTEXTO: El propósito de esta sección es presentar el conjunto de resultados que han motivado y permiten situar y comprender adecuadamente los obtenidos en la memoria de tesis doctoral. 1.1. ESTABILIDAD DE SEMIGRUPOS: Sea X un espacio de Banach complejo y A un operador cerrado en X con dominio D(A) y rango R(A). Sea también u: [0,1) → X una función continua (con valores vectoriales), diferenciable en (0,1) y tal que u(t) ∈ D(A) para todo t > 0. El problema abstracto de Cauchy (PAC) para A consiste en encontrar una función u en las condiciones anteriores y que verique la ecuación u’(t) = Au(t); t > 0; u(0) = x; x ∈ X; donde x ∈ X es un valor inicial dado. Se dice que el problema está bien planteado si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo fuertemente continuo T(t) de operadores lineales y acotados en X. En ese caso, la solución u viene dada por u(t) = T(t)x, t >0. Una cuestión importante sobre el comportamiento de una tal solución u es si es o no estable, lo que equivale a decir, por definición, que u(t)→ 0 cuando t→∞. Así, para un x ∈ X dado, se dice que la órbita {T(t)x : t >0} es estable cuando limT(t)x = 0 (t→∞), y que el semigrupo T(t) es estable si todas sus órbitas son estables. A continuación, recordamos algunos resultados fundamentales sobre estabilidad. EL TEOREMA DE LIAPUNOV: Comenzamos con el caso más sencillo. Denotemos por B(X) al álgebra de Banach de los operadores lineales y acotados en un espacio de Banach X. Suponer que A es el generador de un semigrupo e^{tA)_{t≥0} dado por la serie (convergente en B(X)) e^{tA}=∑_{k=0}^{∞} (t^k A^k)/k! En particular, podemos considerar el álgebra Mn(C) formada por las matrices nxn en el cuerpo complejo C. El clásico teorema de estabilidad de Liapunov se remonta a 1892 (ver [Li] y [EN, Theorem I.2.10]). Este resultado caracteriza la estabilidad del semigrupo a partir de la localización de los autovalores de A para A ∈ Mn(C): Teorema 1. Sea e^{tA} el semigrupo generado por una matriz A ∈ Mn(C). Son equivalentes: (a) El semigrupo es estable. (b) Todos los autovalores de A tienen parte real negativa. Naturalmente, los matemáticos han tratado de extender este teorema (finito-dimensional) al caso en que los espacios X y B(X) sean de dimensión infinita. Una línea de investigación en este sentido es la que introducimos a continuación. Sea A el generador infinitesimal de un C0-semigrupo en un espacio de Banach arbitrario X. Se define la cota espectral s(A) de A como s(A):= sup{Rez : 0 de manera que ‖T(t)(I-A)^(-k) ‖ ≤ Ck/(M_log^(-1) (t/Ck))^k para todo t≥Tk donde M(x)≔ sup_{1≤|τ|≤x} ‖(iτ-A)^(-1) ‖, x≥1, M_log (x)≔M(x)log((1+M(x))(1+x)), x≥1. Nota. En [BD], se conjetura que el factor de corrección logarítmico en M_log es necesario si X es un espacio de Banach general pero puede ser eliminado en el caso en que X sea un espacio de Hilbert. En [BT], A. Borichev y Y. Tomilov han confirmado esta conjetura para crecimientos polinomiales M. La demostración del Teorema 6 se basa en un método clásico de integración sobre contornos introducido por Newman y Korevaar en [Ne] y [K]. Usando esta técnica, C. J. K. Batty y T. Duyckaerts han estimado también la tasa de decrecimiento de las medias de Cesaro de funciones acotadas (con valores vectoriales) cuya transformada de Laplace puede extenderse analíticamente a una cierta región que contiene al eje imaginario ([BD, Theorem 4.1]). 1.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE CON VALORES VECTORIALES Y ANÁLISIS ASINTÓTICO: Como se desprende del apartado anterior, el estudio del comportamiento asintótico de órbitas de familias uniparamétricas está ligado al estudio de la transformada de Laplace de funciones con valores vectoriales. En esta sección, seguimos profundizando en esta relación. Si T(t) es un C0-semigrupo uniformemente acotado en un espacio de Banach X generado por un operador cerrado A entonces el conjunto resolvente ρ(A) de A contiene al semiplano complejo de la derecha y la resolvente de A viene dada por la transformada de Laplace del semigrupo. Por tanto, la transformada de Laplace es el nexo entre los problemas de Cauchy y las propiedades espectrales de los operadores asociados, es decir, entre las soluciones a dichos problemas y las resolventes de tales operadores. Este trabajo no está orientado hacia la obtención de teoremas de representación para la transformada de Laplace (correspondientes a la existencia y unicidad de solución del problema abstracto de Cauchy); una amplia colección de resultados en este sentido puede verse en [ABHN, Section 3.1]. Por el contrario, hemos centrado nuestro estudio en la obtención de resultados de naturaleza tauberiana para la transformada de Laplace que permiten deducir aplicaciones de interés en la teoría asintótica de órbitas de semigrupos -es decir, de las soluciones de (PAC)- y de otras familias uniparamétricas relacionadas con dicho problema. FÓRMULA DE INVERSIÓN DE POST-WIDDER: Es bien conocido que cualquier función f : R+ →X localmente integrable y que sea transformable Laplace está unívocamente determinada por su transformada de Laplace, como muestra el siguiente resultado (ver [ABHN, Theorem 1.7.7]). Teorema 7. Sea f: R+ →X localmente integrable y transformable Laplace. Entonces, para todo punto t > 0 de Lebesgue de f, f(t)= lim_{n→∞} (-1)^n (1/n!) (n/t)^(n+1) (Lf)^(n) (n/t). Este resultado extiende a funciones con valores vectoriales el clásico teorema de Post-Widder de inversión de la transformada de Laplace; ver [P, W]. En los últimos años, la fórmula de Post-Widder se ha aplicado con gran eficacia en muchos problemas numéricos; ver por ejemplo [MCPS, SB]. Sea ahora T(t) un C0-semigrupo en B(X) y sea x ∈ X. Si tomamos f(t) = T(t)x en el teorema 7 y aplicamos la ecuación resolvente obtenemos la conocida como fórmula de Euler para semigrupos; ver [ABHN, Corollary 3.3.6]. Esta fórmula sugiere que las órbitas de un semigrupo pueden obtenerse a su vez como un límite de órbitas del operador resolvente de su generador infinitesimal. En el capítulo 3 de este trabajo, se obtiene una versión integrada de las fórmulas de inversión anteriores. 1.3. PROBLEMAS DE CAUCHY MAL PLANTEADOS Y COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO DE SOLUCIONES: Existen operadores cerrados de interés A para los cuales el problema abstracto de Cauchy está mal planteado en el sentido de que A no es el generador infinitesimal de ningún C0-semigrupo. Sin embargo, en algunos casos importantes en los que se produce esta situación, es posible resolver el problema utilizando familias de operadores más generales que los semigrupos, como los llamados semigrupos integrados. En problemas de Cauchy de otros órdenes, intervienen otras familias uniparamétricas de interés como las funciones coseno, las coseno integradas y las familias de Mittag-Leffler. En esta memoria, centramos nuestro estudio en los semigrupos integrados, principalmente. Suponer que A es el generador de un semigrupo integrado n veces Tn(t) exponencialmente acotado. Entonces, la función u(t)≔d^n/(dt^n ) Tn(t)x, t>0 es la única solución de la ecuación (PAC). Por tanto, el límite de tipo ergódico lim_{t→∞} t^{-n}Tn(t)x=0 refleja el comportamiento asintótico de la solución u en el infinito. En [ElM], un semigrupo integrado una vez T1(t) generado por un operador A se llama estable cuando existe lim T1(t)x en X para todo x en D(A). Esta condición parece razonable pero entraña una importante restricción sobre el generador A. De hecho, si T1(t) es estable en el sentido anterior, entonces A debe ser inversible; ver [ElM, Proposition 5.1 and Remark 5.3]. En este contexto, el teorema de estabilidad de Arendt-Batty-Lyubich-Vu (Teorema 3) admite la siguiente versión integrada (ver [ElM, Theorem 5.6]): Teorema 8. Sea A el generador infinitesimal de un semigrupo integrado una vez T1(t) uniformemente acotado y tal que (i) σ(A)∩ iR es contable, y (ii) Pσ(A*) ∩ iR = ∅; entonces T1(t) es estable. Más aún, lim_{t→∞}T1(t)x = -A^{-1}x para todo x ∈ X. En el capítulo 4 del presente trabajo, obtenemos una extensión de este resultado para semigrupos integrados n veces con generador inversible y con un crecimiento de tipo no cuasianalítico. En esta dirección, el siguiente objetivo es encontrar resultados como el teorema 8 anterior para semigrupos integrados n veces cuyos generadores no sean necesariamente inversibles. En el capítulo 6 de la memoria, establecemos un resultado de esta naturaleza para semigrupos integrados n veces de crecimiento atemperado t^n. La conclusión de un tal resultado no es la estabilidad del semigrupo integrado en el sentido mencionado anteriormente sino la propiedad de tipo ergódico mencionada antes. Observar, no obstante, que este comportamiento supone una generalización natural de la noción de estabilidad de C0-semigrupos acotados a semigrupos integrados bajo la condición de crecimiento anterior. 2. PRINCIPALES RESULTADOS OBTENIDOS: En esta sección enunciamos los teoremas más relevantes obtenidos en la memoria. En primer lugar, presentamos los resultados que involucran a la transformada de Laplace de funciones con valores en un espacio de Banach arbitrario y sus aplicaciones en el estudio del comportamiento asintótico de familias de operadores. TASA DE DECRECIMIENTO DE ÓRBITAS ESTABLES Como se ha mencionado ya, uno de los métodos utilizados en el presente trabajo consiste en obtener conclusiones sobre el comportamiento en el infinito de C0-semigrupos de operadores a partir del estudio del comportamiento asintótico de ciertas funciones generales con valores vectoriales. En este contexto, resulta de interés encontrar nuevos resultados sobre la transformada de Laplace de tales funciones. Los resultados que se presentan en este apartado están motivados por las técnicas usadas por C. J. K. Batty and T. Duckaerts en [BD]. Sea e1(t) := exp(-t) para t ∈ R+. Denotamos por * al producto de convolución usual en R y por ∘⃘ al producto de convolución adjunto al usual. TEOREMA 2.1.1 Sea X un espacio de Banach y sea f ∈ L^{∞}(R+;X). Suponer que existe una función continua μ: (0, ∞) → (0, ∞) tal que: (i) La tranformada de Laplace de f tiene una extensión analítica a la región ∆≔{z∈C:Rez>-μ(|Imz|^(-1))} y está acotada por μ(|Imz|) en los z de ∆ con parte real negativa. (ii) μ es decreciente en (0, 1] y creciente en [1, ∞). Entonces, existen constantes positivas C y τ tales que para todo t > τ, ‖(e1-e1*e1)∘ f(t)‖ ≤ C(m_log^(-1) (t/4) + 1/(M_log^(-1) (t/4)) + 1/t ) donde M_log (x)≔μ(x)log((1+μ(x))(1+x)), x≥1, m_log (x)≔μ(x)log((1+μ(x))/x), 0 0 de tales que para todo t > Tk, ‖T(t)A^k (I-A)^(-2k) ‖ ≤ Ck (m_log^(-1) (t/4k)+1/(M_log^(-1) (t/4k) )+1/t )^{k} Este teorema admite una generalización para semigrupos cuyo generador infinitesimal tiene espectro frontera finito, sin contener al origen necesariamente. Ver capítulo 2 de la memoria para más detalle. VERSIÓN INTEGRADA DE LA FÓRMULA DE POST-WIDDER. FÓRMULA DE TIPO EULER PARA SEMIGRUPOS INTEGRADOS α VECES La relación entre transformadas de Laplace de funciones medibles con valores vectoriales y órbitas de semigrupos resulta de gran utilidad también al estudiar familias integradas de operadores. En este apartado, que se corresponde con el capítulo 3 de la memoria, damos una fórmula de inversión de tipo Post-Widder para transformadas de Laplace con valores vectoriales multiplicadas por el factor z^α (α > 0). Este resultado extiende el teorema 7 mencionado anteriormente. Como consecuencia del mismo, obtenemos nuevas fórmulas de inversión para la resolvente de semigrupos y familias coseno integradas α -veces. Sea X un espacio de Banach y f: R+ →X una función localmente integrable acotada en norma por t^{-γ} e^{ωt} tal que para algún γ>-1 y algún ω≥0. Claramente, la transformada de Laplace Lf de f existe al menos en el semiplano complejo Rez > ω. Para una tal función, se verifica lo siguiente: TEOREMA 3.1.1. Para todo α∈(0,γ+1) y todo punto de Lebesgue t > 0 de f, f(t)=lim_{n→∞} ∫_{0}^{t} (t-s)^{α-1} (-1)^n (1/n!) (n/s)^(n+1) (z^{α} Lf)^(n) (n/s) ds. Para transformadas de Laplace-Stieltjes, se prueba también un resultado análogo para enteros positivos. El interés de la fórmula anterior radica en que permite invertir funciones φ que no son necesariamente transformadas de Laplace, pero tales que z^(-α) φ si lo es para algún α > 0. En esta situación están clases de funciones importantes como las familias integradas de operadores. De hecho, la fórmula del teorema anterior proporciona teoremas de inversión para las resolventes de los generadores de semigrupos integrados y familias coseno integradas. Estas fórmulas extienden otros resultados previamente conocidos en esta materia (ver [C, VV]). ESTABILIDAD DE SEMIGRUPOS INTEGRADOS n VECES En este apartado presentamos los resultados obtenidos en relación a la estabilidad de semigrupos n veces integrados para n ≥ 1. En primer lugar, en la línea iniciada por O. El Mennaoui para generalizar el teorema de Arendt-Batty-Lyubisch-Vu, extendemos [ElM, Theorem 5.6] del siguiente modo. TEOREMA 4.0.1. Sea A el generador de un semigrupo integrado n veces Tn(t) tal que (i) σ(A)∩ iR es contable, (ii) Pσ(A*) ∩ iR = ∅, (ii) 0 ∈ρ(A). Suponer que Tn(t) está dominado por un peso ω(t) no casianalítico cuyo peso reducido asociado ω ̃(t)=O(t^k) cuando t→∞ para algún k ≥ 0. Se cumple lo siguiente: (i) Si ω(t)=o(t^(n-1) ) cuando t→∞ entonces ω(t)^(-1) Tn(t)x → 0 cuando t→∞ para todo x en la clausura de D(A^{n}). (ii) Si ω(t)~ (t^(-n+1) ) cuando t→∞ entonces t^(-n+1) Tn(t)x → -(1/(n-1)!)A^{-1}x cuando t→∞ para todo x en la clausura de D(A^{n}). La demostración del teorema anterior se basa en una adaptación de los argumentos en [ElM] y [V1]. En este trabajo, se extienden de paso otros resultados auxiliares de los autores citados. NOTA: Una cuestión que se plantea a raíz del teorema 4.0.1 es cómo eliminar la condición relativa a la existencia de inverso del generador A. Las técnicas usadas en las demostraciones originales del teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Vu no parecen funcionar en el contexto de los semigrupos integrados. Sin embargo, existe una demostración alternativa de este resultado en [ESZ] (que involucra a la versión continua del teorema de Katznelson-Tzafriri y propiedades de análisis armónico de ciertos homomorfismos de álgebras de Banach) que si permite obtener algunos resultados, parciales pero interesantes, en la dirección deseada. En este sentido, lo primero que hacemos es extender el teorema de Katznelson-Tzafriri al contexto de semigrupos integrados (ver capítulo 5 de la memoria). EXTENSIÓN DEL TEOREMA DE ESTERLE-STROUSSE-ZOUAKIA-VU: TEOREMA DE KATZNELSON-TZAFRIRI PARA SEMIGRUPOS INTEGRADOS Sean D(R) y D(R+) los espacios formados por las funciones continuas e indefinidamente derivables con soporte compacto en R y R+, respectivamente. Denotamos T^{α}(|t|^{α}) y T_{+}^{α}(t^{α}) a los espacios de Banach obtenidos como la complección de D(R) y D(R+) en la norma ‖f‖_{α} := ∫_{Ω} |W^{α}f(t)| |t|^{n} dt para f en D(Ω) donde Ω denota a R o R+ y W^{α}f la derivada de Weyl de f de orden α en R o R+, según corresponda. Estos espacios han sido introducidos en [GM] y son de hecho álgebras de Banach para el producto usual de convolución
On range Sobolev spaces defined by Cesàro-Hardy operators
(Para la correcta visualización de fórmulas y lenguaje matemático, es preferible compilar el siguiente texto en un entorno adecuado de edición de TeX o LaTeX)En 1915, G. H. Hardy intentaba encontrar una demostración elemental de la desigualdad de Hilbert. La desigualdad discreta que obtuvo pudo extenderse a la siguiente desigualdad continua:que fue enunciada en 1920 \cite{H1} y demostrada en 1925 \cite{H2}. Gran parte del desarrollo inicial de la desigualdad de Hardy puede encontrarse en el libro (clásico) \cite{HLP}, y detalles sobre su historia en ambas formas, discreta y continua, en \cite{KuMP}, por ejemplo.Las generalizaciones y aplicaciones de esta fórmula son destacables. Muchos de los aspectos de su desarrollo pueden encontrarse en \cite{KMP}, \cite{KuMP}, \cite{KuP} y \cite{OK}.La desigualdad\left(\int_0^\infty \left|\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p}\leq \frac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{\infty}f^{p}(t)dt\right)^\frac{1}{p}, \leqno{(1)}que se tiene para \mathcal{C} f(t)=\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds, \quad t> 0, \leqno{(2)}\LpRma\|\mathcal{C}\| \leq \frac{p}{p-1}10\left(\int_0^\infty \left|\frac{\nu}{t^\nu} \int_0^t (t-s)^{\nu-1} f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p} \leq \frac{\Gamma(\nu+1)\Gamma(1-\frac{1}{p})}{\Gamma(\nu+1-\frac{1}{p})}\|f\|_p, \qquad f\in\LpRma, \leqno{(3)}1\left(\int_{0}^{\infty} \left\vert\nu\int_{s}^{\infty} \frac{(t-s)^{\nu-1}}{t^\nu} f(t)dt\right\vert^{p}ds\right)^\frac{1}{p} \leq\frac{\G(\nu+1)\G\left(\frac{1}{p}\right)}{\G\left(\nu+\frac{1}{p}\right)}\|f\|_p. \leqno{(4)}La constante \frac{\G(\nu+1)\G\left(\frac{1}{p}\right)}{\G\left(\nu+\frac{1}{p}\right)} tambi\'{e}n es \'{o}ptima para esta desigualdad.De manera natural, las desigualdades (3) y (4) sugieren definir operadores acotados de \LpRma en \LpRma, que denotaremos, para f\in\LpRma, por\calC_\nu(f):=\frac{\nu}{t^\nu}\int_0^t (t-s)^{\nu-1}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1y\calC_\nu^*(f):=\nu\int_t^\infty \frac{(s-t)^{\nu-1}}{s^\nu}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1\le pPara , los operadores \calC_1=\calC o \calC_1^*=\calC^{*}, o sus análogos discretos, han recibido diferentes nombres. Como ejemplo, son llamados operadores de Hardy en \cite{KuMP}, \cite{DS}, operadores de Cesàro en \cite{BHS}, \cite{Bo}, \cite{Mo1}, \cite{Mo2}, operadores de Copson en \cite{Mo1}, \cite {Mo2}, entre otros art\'{i}culos. Hay tambi\'{e}n versiones de los anteriores operadores en el plano complejo, incluso en el caso generalizado; v\'{e}ase \cite{AS}, \cite{LMPS}. El estudio de tales operadores se centra habitualmente en problemas sobre su acotaci\'{o}n en diversos espacios, espectro, interpolaci\'{o}n, dominio \'{o}ptimo, estudio de las isometr\'{i}as asociadas\dots (v\'{e}ase por ejemplo \cite{AP}, \cite{DS}, \cite{BS1}, \cite{BS2}). Aqu\'{i} llamaremos a \calC_\nu, \calC_\nu^* operadores de Ces\`aro-Hardy. Estamos interesados en espacios rango de esos operadores integrales, dotados con la norma imagen de los espacios , y centr\'{a}ndonos de forma m\'{a}s precisa en el caso Hilbert. La motivaci\'{o}n para este enfoque es doble: por un lado surge de las conexiones que estos operadores tienen con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria, y por otro lado de su relaci\'{o}n con el movimiento Browniano fraccionario o con el ruido blanco.En el estudio de las ecuaciones abstractas de Cauchy ``mal planteadas'', es decir, cuando la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no viene regida por un -semigrupo, son relevantes familias como los -semigrupos o los semigrupos integrados, y homomorfismos como semigrupos de distribuciones. En \cite{AK} se consideran semigrupos de distribuciones temperadas que tienen como dominios \'{a}lgebras de convoluci\'{o}n \TT_1^{(n)}(t^n) -en una notaci\'{o}n diferente a la que aparece en \cite{AK}- definidas, para n\in\NN, como la completaci\'{o}n del espacio de funciones test C_c^\infty(\Rma) en la norma(Álgebras similares en toda la recta real han sido introducidas en \cite{BE}). El \'{a}lgebra de Banach \TT_1^{(n)}(t^n) admite una extensi\'{o}n a orden de derivaci\'{o}n fraccionario considerando cierta derivada fraccionaria (denotada por ) en lugar de la derivada habitual ; v\'{e}anse \cite{Mi1} y \cite{GM}. Esta extensi\'{o}n, denotada por \TT_1^{(\nu)}(t^\nu), es tambi\'{e}n un \'{a}lgebra de Banach de convoluci\'{o}n con numerosas aplicaciones relacionadas con c\'{a}lculos funcionales, semigrupos integrados y teor\'{i}a de cuasi multiplicadores regulares, v\'{e}ase \cite{GM}. Propiedades espec\'{i}ficas o aplicaciones de \TT_1^{(\nu)}(t^\nu) como \'{a}lgebra de Banach han aparecido en numerosos art\'{i}culos, entre ellos \cite{GMR1}, \cite{GMR2}, \cite{GMS}, \cite{GS}. Si reemplazamos la norma de por la norma , con \begin{cases} \displaystyle{ u^\prime(t)} = A u(t)+x,\, 0\le t u(0)=0\\ \end{cases} \leqno{(6)}AX\tau>0. Es conocido (véase \cite[Theorem 2.1]{AEK} o \cite[Theorem 3.1]{V}) que si para todo x\in Xu\in C^1([0,\, \tau), X)\cap C([0,\, \tau), D(A))D(A)A[0,\tau),[0,\infty)\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)\calC_\nu^*L_p(\Rma)\calC_\nu^* puede ser entendido bajo el punto de vista que dan la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria. Además, integrales y derivadas fraccionarias tienen aplicación en la teor\'{i}a del movimiento Browniano fractal (fBm por sus siglas en inglés) y sistemas autosimilares (v. g., \cite{FP}, \cite{Hu}, \cite{M}, \cite{SL}), con lo que los operadores de Ces\`aro-Hardy y los espacios de Hilbert que definen, es decir \TT_2^{(\nu)}(t^\nu)\nu>0\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)\Cma:=\{z\in\CC:\Re z>0\}\calC_{\nu}\calC_{\nu}^*\nu>0\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)\LL(T_{p}(t))_{t\in\RR}\calC_\nu\calC_\nu^*\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)\TT^{(\nu)}_{p}(|t|^\nu)\RR\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)p=1\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)\wL_{1}(\omega)\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)p=2\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)1\leq p 1/2\nu>0K_\nuK_{\nu,z}:=K_\nu(\cdot, z)\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}\sim \vert z\vert^{-1/2}z\in\Cma\kappa(x,y)\Omega\Omegay\in\Omega\kappa_y:=\kappa(\cdot,y)\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}zz\Cma\calC_\nu^*\LiiRma\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)\calC_\nu\calC_\nu(\LiiRma)\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)=\calC_\nu(\LiiRma)\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)H_2^{(\nu)}(\Cma)\calC_\nu\calC_{\k}\ast\calC_{\k}(f)=\frac{1}{\chi_{(0,\infty)}\ast \k} f \ast \k\k\k(t)=\fr_{\nu}(t):=t^{\nu-1}/\G(\nu)\calC_{\k}^\ast\calC_{\k}^\ast\k\k-convolucionadas (véase Teorema 5.2.17).\begin{thebibliography}{99}\bibitem[AEK]{AEK} W. 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An extension problem and trace Hardy inequality for the sublaplacian on -type groups
In this paper we study the extension problem for the sublaplacian on a
-type group and use the solutions to prove trace Hardy and Hardy
inequalities for fractional powers of the sublaplacian.Comment: 39 page
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