Equivalence of two Fixed-Point Semantics for Definitional Higher-Order Logic Programs

Two distinct research approaches have been proposed for assigning a purely extensional semantics to higher-order logic programming. The former approach uses classical domain theoretic tools while the latter builds on a fixed-point construction defined on a syntactic instantiation of the source program. The relationships between these two approaches had not been investigated until now. In this paper we demonstrate that for a very broad class of programs, namely the class of definitional programs introduced by W. W. Wadge, the two approaches coincide (with respect to ground atoms that involve symbols of the program). On the other hand, we argue that if existential higher-order variables are allowed to appear in the bodies of program rules, the two approaches are in general different. The results of the paper contribute to a better understanding of the semantics of higher-order logic programming.Comment: In Proceedings FICS 2015, arXiv:1509.0282

Equivalence of two fixed-point semantics for definitional higher-order logic programs

Two distinct research approaches have been proposed for assigning extensional semantics to higher-order logic programming. The former approach [11] uses classical domain-theoretic tools while the latter [1] builds on a fixed-point construction defined on a syntactic instantiation of the source program. The relationships between these two approaches had not been investigated until now. In this paper we demonstrate that for a very broad class of programs, namely the class of definitional programs introduced by W.W. Wadge, the two approaches coincide with respect to ground atoms that involve symbols of the program. On the other hand, we argue that if existential higher-order variables are allowed to appear in the bodies of program rules, the two approaches are in general different. The results of the paper contribute to a better understanding of the semantics of higher-order logic programming. © 2017 Elsevier B.V

Bottom up evaluation for second-order logic programs

Ο στόχος αυτής της πτυχιακής είναι η παρουσίαση μιάς μεθόδου για αποδοτική από κάτω προς τα πάνω αποτίμηση ερωτημάτων για λογικά προγράμματα δεύτερης τάξης. Αρχικά, ορίζουμε τη γλώσσα λογικού προγραμματισμού δεύτερης τάξης που χρησιμοποιούμε, βασιζόμενοι σε ένα πλαίσιο επεκτατικού λογικού προγραμματισμού. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε τα βασικά βήματα για από κάτω προς τα πάνω αποτίμηση κλασικών λογικών προγραμμάτων πρώτης τάξης. Τελικά, δείχνουμε πως αυτά τα βήματα μπορούν να προσαρμοστούν ώστε να χειρίζονται κατηγορήματα δεύτερης τάξης. Χρησιμοποιούμε παραδείγματα για να παρουσιάσουμε τον τρόπο που δουλεύει η μέθοδος.The goal of this thesis is to investigate a method for efficient bottom-up query evaluation for second order logic programs. First, we present the extensional logic programming framework on which our second-order logic programming language relies. Then, we present the key steps of bottom-up logic program evaluation for the classic first-order logic case. Finally, we present an adaptation of these steps that allows for second- order predicates. We show how our method should work through examples

Semantics of Negation in Extensional Higher-Order Logic Programming

Θεωρούμε τις δύο υπάρχουσες εκτατικές προσεγγίσεις στη σημασιολογία των θετικών λογικών προγραμμάτων ανώτερης τάξης, προταθείσες από τον W. W. Wadge και τον M. Bezem αντίστοιχα. Η πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιεί κλασικά εργαλεία από τη θεωρία πεδίων ενώ η δεύτερη στηρίζεται στις συντακτικές οντότητες που εμφανίζονται στο πρόγραμμα και βασίζεται στην επεξεργασία του βασικού αναπτύγματος του προγράμματος. Οι σχέσεις μεταξύ των δύο προσεγγίσεων δεν είχαν ως τώρα διερευνηθεί, ενώ μόνο η προσέγγιση του Wadge είχε επεκταθεί ώστε να εφαρμοστεί σε προγράμματα ανώτερης τάξης με άρνηση. Δείχνουμε ότι οι σημασιολογίες του Wadge και του Bezem συμπίπτουν για μία ευρεία και ενδιαφέρουσα κλάση προγραμμάτων, τα οποία δεν περιλαμβάνουν υπαρξιακά ποσοτικοποιημένες μεταβλητές στα σώματα των προτάσεων. Σημειώνουμε ότι έχουν επίσης ουσιαστικές διαφορές, οι οποίες γίνονται εμφανείς όταν επεκτείνουμε την θεωρούμενη γλώσσα ώστε να επιτρέπονται υπαρξιακές μεταβλητές. Επιπλέον, εστιάζουμε στη λιγότερο ανεπτυγμένη ερευνητική κατεύθυνση εκ των δύο, δηλαδή τη σημασιολογία του Bezem, και προσαρμόζουμε για πρώτη φορά την τεχνική του Bezem ώστε να ορίσουμε μία εκτατική σημασιολογία για λογικά προγράμματα ανώτερης τάξης με άρνηση. Για τον σκοπό αυτό, αξιοποιούμε την απειρότιμη προσέγγιση στην άρνηση-μέσω-αποτυχίας. Από την άλλη, δείχνουμε ότι o συνδυασμός της τεχνικής με τη σημασιολογία σταθερού μοντέλου ή με την καλώς θεμελιωμένη σημασιολογία, αποτυγχάνει να παράξει εκτατικές σημασιολογίες, στη γενική περίπτωση. Αναλύουμε τις αιτίες αυτής της αποτυχίας και ισχυριζόμαστε ότι μία τρίτιμη λογική δεν μπορεί να διαχωρίσει μεταξύ τους ορισμένα κατηγορήματα, τα οποία έχουν διαφορετική συμπεριφορά μέσα σε ένα πρόγραμμα, αλλά τυγχάνει να εμφανίζονται ως πανομοιότυπες τρίτιμες σχέσεις. Τέλος, ορίζουμε για πρώτη φορά τις έννοιες της στρωματοποίησης και της τοπικής στρωματοποίησης για λογικά προγράμματα ανώτερης τάξης με άρνηση. Αποδεικνύουμε ότι κάθε στρωματοποιημένο πρόγραμμα έχει ένα διακριτό εκτατικό μοντέλο, το οποίο μπορεί να κατασκευαστεί ισοδύναμα μέσω της καλώς θεμελιωμένης, της σταθερής ή της απειρότιμης σημασιολογίας. Επιπλέον, δείχνουμε ότι αυτό το μοντέλο δεν αποδίδει ποτέ την άγνωστη τιμή αληθείας. Τα αποτελέσματα αυτά αναδεικνύουν τη σπουδαιότητα και την καλή φύση των στρωματοποιημένων προγραμμάτων, που ήταν ως τώρα γνωστή μόνο στην περίπτωση των λογικών προγραμμάτων πρώτης τάξης.We consider the two existing extensional approaches to the semantics of positive higher-order logic programming, originally introduced by W. W. Wadge and M. Bezem respectively. The former approach uses classical domain-theoretic tools while the latter builds on a fixed-point construction defined on a syntactic instantiation of the source program. The relationships between these two approaches had not been investigated until now, while only Wadge's approach had been extended to apply to higher-order programs with negation. We show that Wadge's semantics and Bezem's semantics coincide for a broad and interesting class of programs, which do not include existentially quantified predicate variables in the bodies of clauses. We indicate that they also have profound differences, which surface when we extend our source language to allow existential predicate variables. In addition, we focus on the less developed research direction of the two, namely Bezem's semantics, and we adapt, for the first time, Bezem's technique to define an extensional semantics for higher-order logic programs with negation. For this purpose, we utilize the infinite-valued approach to negation-as-failure. On the other hand, we show that an adaptation of the technique under the well-founded or the stable model semantics does not in general lead to an extensional semantics. We analyse the reasons for this failure arguing that a three-valued setting cannot distinguish between certain predicates that appear to have a different behaviour inside a program context, but which happen to be identical as three-valued relations. As an application of our developments, we define for the first time the notions of stratification and local stratification for higher-order logic programs with negation. We prove that every stratified program has a distinguished extensional model which can be equivalently obtained through the well-founded, stable or infinite-valued model semantics. Furthermore, we show that this model does not assign the unknown truth value. These results affirm the importance and the well-behaved nature of stratified programs, which was, until now, only known for the first-order case