Percolation Theories for Quantum Networks

Quantum networks have experienced rapid advancements in both theoretical and experimental domains over the last decade, making it increasingly important to understand their large-scale features from the viewpoint of statistical physics. This review paper discusses a fundamental question: how can entanglement be effectively and indirectly (e.g., through intermediate nodes) distributed between distant nodes in an imperfect quantum network, where the connections are only partially entangled and subject to quantum noise? We survey recent studies addressing this issue by drawing exact or approximate mappings to percolation theory, a branch of statistical physics centered on network connectivity. Notably, we show that the classical percolation frameworks do not uniquely define the network's indirect connectivity. This realization leads to the emergence of an alternative theory called ``concurrence percolation,'' which uncovers a previously unrecognized quantum advantage that emerges at large scales, suggesting that quantum networks are more resilient than initially assumed within classical percolation contexts, offering refreshing insights into future quantum network design

Fast Parallel Algorithms for Basic Problems

Parallel processing is one of the most active research areas these days. We are interested in one aspect of parallel processing, i.e. the design and analysis of parallel algorithms. Here, we focus on non-numerical parallel algorithms for basic combinatorial problems, such as data structures, selection, searching, merging and sorting. The purposes of studying these types of problems are to obtain basic building blocks which will be useful in solving complex problems, and to develop fundamental algorithmic techniques. In this thesis, we study the following problems: priority queues, multiple search and multiple selection, and reconstruction of a binary tree from its traversals. The research on priority queue was motivated by its various applications. The purpose of studying multiple search and multiple selection is to explore the relationships between four of the most fundamental problems in algorithm design, that is, selection, searching, merging and sorting; while our parallel solutions can be used as subroutines in algorithms for other problems. The research on the last problem, reconstruction of a binary tree from its traversals, was stimulated by a challenge proposed in a recent paper by Berkman et al. ( Highly Parallelizable Problems, STOC 89) to design doubly logarithmic time optimal parallel algorithms because a remarkably small number of such parallel algorithms exist

Designing and Expanding Electrical Networks – Complexity and Combinatorial Algorithms

The transition from conventional to renewable power generation has a large impact on when and where electricity is generated. To deal with this change the electric transmission network needs to be adapted and expanded. Expanding the network has two benefits. Electricity can be generated at locations with high renewable energy potentials and then transmitted to the consumers via the transmission network. Without the expansion the existing transmission network may be unable to cope with the transmission needs, thus requiring power generation at locations closer to the energy demand, but at less well-suited locations. Second, renewable energy generation (e.g., from wind or solar irradiation) is typically volatile. Having strong interconnections between regions within a large geographical area allows to the smooth the generation and demand over that area. This smoothing makes them more predictable and the volatility of the generation easier to handle. In this thesis we consider problems that arise when designing and expanding electric transmission networks. As the first step we formalize them such that we have a precise mathematical problem formulation. Afterwards, we pursue two goals: first, improve the theoretical understanding of these problems by determining their computational complexity under various restrictions, and second, develop algorithms that can solve these problems. A basic formulation of the expansion planning problem models the network as a graph and potential new transmission lines as edges that may be added to the graph. We formalize this formulation as the problems Flow Expansion and Electrical Flow Expansion, which differ in the flow model (graph-theoretical vs. electrical flow). We prove that in general the decision variants of these problems are $\mathcal{NP}$-complete, even if the network structure is already very simple, e.g., a star. For certain restrictions, we give polynomial-time algorithms as well. Our results delineate the boundary between the $\mathcal{NP}$-complete cases and the cases that can be solved in polynomial time. The basic expansion planning problems mentioned above ignore that real transmission networks should still be able to operate if a small part of the transmission equipment fails. We employ a criticality measure from the literature, which measures the dynamic effects of the failure of a single transmission line on the whole transmission network. In a first step, we compare this criticality measure to the well-used $N-1$ criterion. Moreover, we formulate this criticality measure as a set of linear inequalities, which may be added to any formulation of a network design problem as a mathematical program. To exemplify this usage, we introduce the criticality criterion in two transmission network expansion planning problems, which can be formulated as mixed-integer linear programs (MILPs). We then evaluate the performance of solving the MILPs. Finally, we develop a greedy heuristic for one of the two problems, and compare its performance to solving the MILP. Microgrids play an important role in the electrification of rural areas. We formalize the design of the cable layout of a microgrid as a geometric optimization problem, which we call Microgrid Cable Layout. A key difference to the network design problems above is that there is no graph with candidate edges given. Instead, edges and new vertices may be placed anywhere in the plane. We present a hybrid genetic algorithm for Microgrid Cable Layout and evaluate it on a set of benchmark instances, which include a real microgrid in the Democratic Republic of the Congo. Finally, instead of expanding electrical networks one may place electric equipment such as FACTS (flexible AC transmission system). These influence the properties of the transmission lines such that the network can be used more efficiently. We apply a model of FACTS from the literature and study the problem whether a given network with given positions and properties of the FACTS admits an electrical flow provided that FACTS are set appropriately. We call such a flow a FACTS flow. In this thesis we prove that in general it is $\mathcal{NP}$-complete to determine whether a network admits a FACTS flow, and we present polynomial-time algorithms for two restricted cases

Algorithms for graphs of small treewidth

Veel problemen uit de praktijk kunnen worden gemodelleerd als optimaliserings- of beslis-singsproblemen op grafen. Denk bijvoorbeeld aan het probleem waarbij een koerier een aantal pakketjes moet afleveren op verschillende adressen in het land. De manager van de koerier wil dat hij een zo kort mogelijke route aflegt die begint en eindigt bij het koeriers-bedrijf, en die alle adressen aandoet. Het probleem om zo n kortste route te vinden is het zogenaamde handelsreizigersprobleem. De invoer kan worden gemodelleerd als een graaf, waarbij elke knoop in de graaf een adres vertegenwoordigt en elke kant tussen twee knopen de weg tussen de corresponderende adressen. Elke kant heeft een gewicht dat aangeeft hoe lang de corresponderende weg is. Het probleem is dan om een cykel in de graaf te vinden die alle knopen bevat en waarvoor de som van de gewichten van alle kanten in de cykel minimaal is. Helaas is het zo dat de meeste problemen op grafen die praktische problemen modelleren lastig zijn in die zin, dat er waarschijnlijk geen effici¨ ente algoritmen zijn die deze problemen oplossen. Formeel gezegd zijn deze problemen NP-lastig. Het handelsreizigersprobleem is een voorbeeld hiervan. Een manier om hiermee om te gaan is om te kijken of er in het probleem uit de praktijk een structuur zit die maakt dat het probleem effici¨ enter is op te lossen. Het kan bijvoorbeeld zo zijn dat het gegeven probleem in het algemeen lastig is, maar dat de grafen die in de praktijk voorkomen een dusdanige structuur hebben dat er wel een effici¨ ent algoritme voor het probleem bestaat. Een voorbeeld van een prettige graafstructuur is de boomstructuur: het blijkt dat veel graafproblemen die in het algemeen lastig zijn, een effici¨ ent algoritme hebben wanneer de graaf een boom is. Helaas is de boomstructuur erg beperkt: er zijn maar weinig praktische problemen die kunnen worden gemodelleerd als problemen op bomen. In dit proefschrift kij-ken we daarom naar een generalisatie van deze structuur, en dat is de boomachtige structuur: we kijken naar grafen met boombreedte hooguit k of padbreedte hooguit k, waarbij k een positief geheel getal is. Intu¨itief gezien geeft de boombreedte van een graaf de mate aan waarin de graaf op een boom lijkt: hoe groter de gelijkenis, hoe kleiner de boombreedte. Met een graaf van boom-breedte k kan een boom worden geassocieerd waarbij elke knoop van de boom correspondeert met een deelgraaf van de graaf op een zodanige manier dat elke knoop en elke kant van de graaf in tenminste een knoop van de boom voorkomt, en voor elke knoop v in de graaf geldt dat de knopen in de boom die v bevatten een verbonden deelboom vormen. Zo n boom bestaande uit deelgrafen wordt een boomdecompositie van de graaf genoemd. De breedte van de boomdecompositie is het maximaal aantal knopen van de graaf dat in ´ e´ en 233?Samenvatting knoop van de boomdecompositie voorkomt, min ´ e´ en. De boombreedte van een graaf is de minimale breedte over alle boomdecomposities van de graaf (een boom heeft boombreedte ´ e´ en). Een paddecompositie van een graaf is een boomdecompositie die de vorm heeft van een pad. De padbreedte van een graaf is de minimale breedte over alle paddecomposities van de graaf. Dus de boombreedte van een graaf is altijd ten hoogste gelijk aan z n padbreedte. Voor veel problemen zoals het handelsreizigersprobleem is er een effici¨ ent algoritme op grafen met kleine boombreedte. Het blijkt dat er veel praktische graafproblemen zijn waar-voor de invoergraaf een kleine boombreedte heeft. Bij al deze problemen helpt dit gegeven bij het vinden van een effici¨ enter algoritme. Deze algoritmen maken meestal gebruik van een boomdecompositie van de graaf met kleine breedte. Daarom is het nodig om eerst zo n boomdecompositie van de graaf te vinden. Hiervoor zijn effici¨ ente algoritmen beschikbaar, zowel sequentieel als parallel. Helaas is het zo dat veel algoritmen op grafen met een kleine boombreedte alleen in theorie efficient zijn: de looptijd van de algoritmen is vaak exponentieel in de boombreedte van de graaf. Dit geldt bijvoorbeeld voor de algoritmen voor het vinden van een boom- of paddecompositie van breedte hooguit k van een graaf, waarbij k constant is. Het doel van dit proefschrift is om effici¨ ente sequenti¨ ele en parallelle algoritmen te ont-werpen voor problemen op grafen met een kleine boom- of padbreedte. Het doel is om algoritmen te ontwerpen die niet alleen theoretisch effici¨ ent zijn, maar die ook in praktische toepassingen effici¨ ent kunnen zijn. Het proefschrift is als volgt georganiseerd. Hoofdstuk 1 geeft een inleiding. In hoofd-stuk 2 worden formele definities van boom- en padbreedte gegeven, en wordt een aantal ei-genschappen en bekende resultaten over grafen met een kleine boom- en padbreedte gegeven. Verder worden definities gegeven die worden gebruikt in de rest van het proefschrift. In hoofdstuk 3 geven we een volledige karakterisatie van grafen met padbreedte twee. Deze karakterisatie wordt vervolgens gebruikt voor een effici¨ ent sequentieel algoritme dat beslist of een graaf padbreedte ten hoogste twee heeft en, als dat zo is, een paddecompositie van minimale breedte vindt. De karakterisatie wordt ook gebruikt in de algoritmen die zijn beschreven in hoofdstuk 4. Hoofdstuk 4 gaat over twee problemen welke hun oorsprong vinden in de moleculaire biologie. In beide problemen bestaat de invoer uit een aantal copie¨ en van een DNA string welke in fragmenten zijn opgedeeld. Voor elk paar van fragmenten is informatie beschikbaar over de overlap tussen die twee fragmenten: ´ of we weten dat de fragmenten zeker overlappen, ´ of we weten dat ze zeker niet overlappen, ´ of we weten niets. Met behulp van deze informatie moet de volledige overlap informatie tussen elk tweetal fragmenten worden berekend, dat wil zeggen dat voor elk tweetal fragmenten moet worden berekend of ze wel of niet overlappen. Dit probleem heet k-INTERVALIZING SANDWICH GRAPHS of k-ISG, waarbij k het aantal copie¨ en is dat is gefragmenteerd. In de tweede variant is ook nog bekend dat alle fragmenten gelijke lengte hebben. Deze variant heet k-UNIT-INTERVALIZING SANDWICH GRAPHS of k-UISG. De invoer van beide problemen kan worden gemodelleerd als een graaf. Het blijkt dat de volledige overlap informatie alleen kan worden berekend wanneer die graaf padbreedte ten hoogste k heeft, waarbij k weer het aantal copie¨ en is. In Hoofdstuk 4 geven we een 234?Samenvatting kwadratisch algoritme voor 3-ISG, en we bewijzen dat k-ISG NP-moeilijk is wanneer k 4. Verder geven we een lineair algoritme voor 3-UISG. Hoofstukken 5 9 gaan over een speciaal soort algoritmen, namelijk reductie algorit-men. Een reductie algoritme is een algoritme waarin een reeks reducties wordt uitgevoerd op de invoergraaf. Het gedrag van de reducties is beschreven in een verzameling van reductie regels, welke afhangen van het probleem waarvoor het algoritme is. Wanneer de reductie re-gels aan bepaalde voorwaarden voldoen kan het reductie algoritme lineaire tijd gebruiken (of logaritmische tijd in het geval van een parallel reductie algoritme). De reductie algoritmen zijn eenvoudig: de moeilijkheden van het probleem zitten verstopt in de verzameling reductie regels, en niet in het algoritme. Er zijn hele klassen van problemen op grafen met begrensde boombreedte waarvoor een verzameling van reductie regels kan worden geconstrueerd. Het voordeel van reductie algo-ritmen voor het oplossen van problemen op grafen met begrensde boombreedte is dat er geen boomdecompositie van de graaf nodig is: de algoritmen werken direct op de graaf. In hoofdstuk 5 geven we een overzicht van de bestaande theorie¨ en over reductie algorit-men. We combineren verschillende bestaande idee¨ en en presenteren ze als een geheel. Dit hoofdstuk is tevens een inleiding voor hoofdstukken 6 9. Reductie algoritmen hebben als nadeel dat ze alleen optimaliserings- en beslissingspro-blemen kunnen oplossen: bij een optimaliseringsprobleem wordt alleen de optimale waarde teruggegeven, maar niet een oplossing waarvoor de waarde optimaal is. Bij beslissingspro-blemen wordt alleen het antwoord ja of nee gegeven, maar als het antwoord ja is wordt geen oplossing gegeven. In hoofdstuk 6 breiden we de theorie van reductie algoritmen uit naar constructieve reductie algoritmen welke ook een (optimale) oplossing teruggeven, mits er een is. We laten zien dat voor veel problemen op grafen met begrensde boombreedte waar-voor reductie algoritmen kunnen worden toegepast, ook de constructieve reductie algoritmen kunnen worden toegepast. In hoofdstuk 7 passen we de theorie¨ en welke zijn gepresenteerd in hoofdstukken 5 en 6 toe op een aantal optimaliseringsproblemen. In hoofdstukken 8 en 9 gebruiken we de theorie¨ en uit hoofdstuk 6, aangevuld met nieuwe idee¨ en, om effici¨ ente, constructieve parallelle reductie algoritmen te verkrijgen voor de vol-gende twee aanverwante problemen: gegeven een graaf, bepaal of hij series-parallel is, en zo ja, vind dan een sp-boom van de graaf, gegeven een graaf, bepaal of hij boombreedte hooguit twee heeft, en zo ja, maak een boomdecompositie van breedte twee van de graaf. In hoofdstuk 10 vatten we de resultaten uit dit proefschrift nog eens samen, en geven we wat richtingen aan voor verder onderzoek. Appendix A bevat een opsomming van definities van alle graafproblemen welke worden gebruikt in het proefschrift. 235?Samenvatting 23