Upward planar drawings with two slopes

In an upward planar 2-slope drawing of a digraph, edges are drawn as straight-line segments in the upward direction without crossings using only two different slopes. We investigate whether a given upward planar digraph admits such a drawing and, if so, how to construct it. For the fixed embedding scenario, we give a simple characterisation and a linear-time construction by adopting algorithms from orthogonal drawings. For the variable embedding scenario, we describe a linear-time algorithm for single-source digraphs, a quartic-time algorithm for series-parallel digraphs, and a fixed-parameter tractable algorithm for general digraphs. For the latter two classes, we make use of SPQR-trees and the notion of upward spirality. As an application of this drawing style, we show how to draw an upward planar phylogenetic network with two slopes such that all leaves lie on a horizontal line

Decomposition of Geometric Set Systems and Graphs

We study two decomposition problems in combinatorial geometry. The first part deals with the decomposition of multiple coverings of the plane. We say that a planar set is cover-decomposable if there is a constant m such that any m-fold covering of the plane with its translates is decomposable into two disjoint coverings of the whole plane. Pach conjectured that every convex set is cover-decomposable. We verify his conjecture for polygons. Moreover, if m is large enough, we prove that any m-fold covering can even be decomposed into k coverings. Then we show that the situation is exactly the opposite in 3 dimensions, for any polyhedron and any $m$ we construct an m-fold covering of the space that is not decomposable. We also give constructions that show that concave polygons are usually not cover-decomposable. We start the first part with a detailed survey of all results on the cover-decomposability of polygons. The second part investigates another geometric partition problem, related to planar representation of graphs. The slope number of a graph G is the smallest number s with the property that G has a straight-line drawing with edges of at most s distinct slopes and with no bends. We examine the slope number of bounded degree graphs. Our main results are that if the maximum degree is at least 5, then the slope number tends to infinity as the number of vertices grows but every graph with maximum degree at most 3 can be embedded with only five slopes. We also prove that such an embedding exists for the related notion called slope parameter. Finally, we study the planar slope number, defined only for planar graphs as the smallest number s with the property that the graph has a straight-line drawing in the plane without any crossings such that the edges are segments of only s distinct slopes. We show that the planar slope number of planar graphs with bounded degree is bounded.Comment: This is my PhD thesi

A Universal Slope Set for 1-Bend Planar Drawings

We describe a set of Delta-1 slopes that are universal for 1-bend planar drawings of planar graphs of maximum degree Delta>=4; this establishes a new upper bound of Delta-1 on the 1-bend planar slope number. By universal we mean that every planar graph of degree Delta has a planar drawing with at most one bend per edge and such that the slopes of the segments forming the edges belong to the given set of slopes. This improves over previous results in two ways: Firstly, the best previously known upper bound for the 1-bend planar slope number was 3/2(Delta-1) (the known lower bound being 3/4(Delta-1)); secondly, all the known algorithms to construct 1-bend planar drawings with O(Delta) slopes use a different set of slopes for each graph and can have bad angular resolution, while our algorithm uses a universal set of slopes, which also guarantees that the minimum angle between any two edges incident to a vertex is pi/(Delta-1)

The Galois Complexity of Graph Drawing: Why Numerical Solutions are Ubiquitous for Force-Directed, Spectral, and Circle Packing Drawings

Many well-known graph drawing techniques, including force directed drawings, spectral graph layouts, multidimensional scaling, and circle packings, have algebraic formulations. However, practical methods for producing such drawings ubiquitously use iterative numerical approximations rather than constructing and then solving algebraic expressions representing their exact solutions. To explain this phenomenon, we use Galois theory to show that many variants of these problems have solutions that cannot be expressed by nested radicals or nested roots of low-degree polynomials. Hence, such solutions cannot be computed exactly even in extended computational models that include such operations.Comment: Graph Drawing 201

Level-Planar Drawings with Few Slopes

We introduce and study level-planar straight-line drawings with a fixed number of slopes. For proper level graphs (all edges connect vertices of adjacent levels), we give an ( log$^{2}$ / log log )-time algorithm that either finds such a drawing or determines that no such drawing exists. Moreover, we consider the partial drawing extension problem, where we seek to extend an immutable drawing of a subgraph to a drawing of the whole graph, and the simultaneous drawing problem, which asks about the existence of drawings of two graphs whose restrictions to their shared subgraph coincide. We present ($^{4/3}$ log )-time and ($^{10/3}$ log )-time algorithms for these respective problems on proper level-planar graphs. We complement these positive results by showing that testing whether non-proper level graphs admit level-planar drawings with slopes is NP-hard even in restricted cases

New Approaches on Octilinear Graph Drawing

Graphenzeichnen ist ein Bereich der Informatik mit langer Tradition. Insbesondere im Bereich des orthogonalen Graphenzeichnens wird seit den 1980er Jahren motiviert durch VLSI-Design (Chip-Design) und Grundrissplanung intensiv geforscht. In dieser Arbeit wird das klassische orthogonale Modell durch neue Elemente, unter anderem aus dem oktilinearen Graphenzeichnen, erweitert. Die ersten Ergebnisse, die wir in dieser Arbeit vorstellen, befassen sich mit oktilinearem Graphenzeichnen. Dieses Modell ist altbekannt und viele Aspekte wurden schon untersucht. Wir entwickeln eine Methode mit der für planare Graphen mit einem beschränkten maximalen Knotengrad (4 und 5) Zeichnungen mit maximal einem Knick pro Kante erstellt werden können. Außerdem zeigen wir, dass Graphen mit maximalem Knotengrad 6 nicht immer mit einem Knick pro Kante gezeichnet werden können. Damit schließen wir die Lücke zwischen bekannten Ergebnissen, die besagen dass Graphen mit maximalem Knotengrad 3 immer ohne Knicke und alle Graphen bis zu einem maximalen Knotengrad von 8 mit höchstens zwei Knicken pro Kante oktilinear gezeichnet werden können. Durch Nutzerstudien konnte gezeigt werden, dass die Lesbarkeit von (Graphen) Zeichnungen durch Knicke auf den Kanten und schlecht identifizierbare Kreuzungen besonders beeinträchtigt wird. An diesem Punkt setzt unser neues Modell, das abgeschrägt orthogonale (engl. slanted orthogonal, oder kurz: slog) Graphenzeichnen an. Im slog Modell ist der kleinste erlaubte Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Kantensegmenten 135°. Das hat zur Folge, dass slog Zeichnungen keine normalen Knicke mehr haben, sondern sogenannte Halb-Knicke. Um Kreuzungen besser erkennbar zu machen sind im slog Modell Kreuzungen ausschließlich zwischen diagonalen Segmenten erlaubt. Wir zeigen, dass eine knick-minimale slog Zeichnung mindestens doppelt so viele Halb-Knicke benötigt, wie eine knick-minimale orthogonale Zeichnung Knicke hat. Für das slog Modell werden in dieser Arbeit Methoden zur Berechnung von knick-minimalen Zeichnungen vorgestellt. Da diese exponentielle Fläche benötigen können, wird außerdem eine Heuristik entwickelt, die nur quadratische Fl ̈ache benötigt, dafür aber mehr Knicke zulässt. Die Ergebnisse einer experimentellen Evaluation des slog Modells werden ebenfalls präsentiert. Im Anschluss erweitern wir das slog Modell zu einer flexibleren Variante die wir sloggy nennen. Das sloggy Modell hat alle Eigenschaften des slog Modells, aber Kreuzungen werden jetzt auch zwischen orthogonalen Segmenten erlaubt. Dafür wird die Anzahl Halb-Knicke beschränkt auf genau zwei Mal die Anzahl Knicke der entsprechenden knick-minimalen orthogonalen Zeichnung. Außerdem wird die Anzahl an Kreuzungen zwischen diagonalen Segmenten maximiert. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung solcher Zeichnungen und zeigen, dass auch hier exponentielle Fläche benötigt werden kann. Das slog und das sloggy Modell sind auf Graphen mit einem maximalen Knotengrad von 4 beschränkt. Deswegen wenden wir uns als nächstes dem Kandinsky Modell zu, einem bekannten Modell mit dem Graphen mit beliebigem Knotengrad gezeichnet werden können. Wir erweitern das bekannte Modell mit Elementen aus dem slog Modell, den Halb-Knicken, um so zuvor verbotene Konfigurationen zeichnen zu können. Mit unserer Erweiterung wollen wir die Gesamtzahl an Knicken und die Größe der Zeichnungen verkleinern. Wir entwickeln eine LP Formulierung, mit der die optimale Zeichnung berechnet werden kann. Da diese sehr lange Zeit zur Berechnung beanspruchen kann, haben wir zusätzliche eine effiziente Heuristik entwickelt. In einer experimentellen Untersuchung vergleichen wir außerdem das neue Modell mit dem klassischen Kandinsky Modell. Im letzten Kapitel vereinen wir dann unsere Modifikation des Kandinsky Modells mit dem slog Modell im sogenannten sloginsky Modell, um Graphen mit beliebigem Knotengrad mit den Vorteilen des slog Modells zeichnen zu können. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung knick-optimaler sloginsky Zeichnungen, aber wir zeigen auch, dass eine solche Zeichnung nicht für jede Eingabe möglich ist. Auch im sloginsky Modell kann eine Zeichnung exponentielle Fläche beanspruchen, was in der experimentellen Evaluation ebenfalls sichtbar wird