Runge-Kutta residual distribution schemes

We are concerned with the solution of time-dependent non-linear hyperbolic partial differential equations. We investigate the combination of residual distribution methods with a consistent mass matrix (discretisation in space) and a Runge–Kutta-type time-stepping (discretisation in time). The introduced non-linear blending procedure allows us to retain the explicit character of the time-stepping procedure. The resulting methods are second order accurate provided that both spatial and temporal approximations are. The proposed approach results in a global linear system that has to be solved at each time-step. An efficient way of solving this system is also proposed. To test and validate this new framework, we perform extensive numerical experiments on a wide variety of classical problems. An extensive numerical comparison of our approach with other multi-stage residual distribution schemes is also given

High order preserving residual distribution schemes for the laminar and turbulent Navier Stokes on arbitrary grids

International audienceThis paper deals with the construction of a class of high order accurate Residual Dis- tribution schemes for the Navier Stokes equations using conformal meshes. The approx- imation of the solution is obtained using standard Lagrangian finite elements, and the total residual of the problem is constructed taking into account both the advective and the diffusive terms in order to discretize within the same scheme both parts of the gov- erning equation. To cope with the fact that the normal component of the gradients of the numerical solution is discontinuous across the faces of the elements, the gradient of the numerical solution is recovered at each degree of freedom of the grid and then interpolated with the same shape functions used for the solution. The procedure is fully described for the scalar case, and formaly extended to the system case. Linear and non-linear schemes are constructed and their accuracy is first tested with the help of manufactured solutions, and then applied to several (2D and 3D) test cases

Contributions to the development of residual discretizations for hyperbolic conservation laws with application to shallow water flows

In this work we review 12 years of developments in the field of residual based discretizations and their application to the solution of the shallow water equations. Fundamental concepts related to the topic are recalled and he construction of second and higher order schemes for steady problems is presented. The generalization to time dependent problems by means of multi-step implicit time integration, space-time, and genuinely explicit techniques is thoroughly discussed. Finally, the issues of C-property, super consistency, and wetting/drying are analyzed in this framework showing the power of the residual based approach

Méthodes numériques et conditions limites pour la simulation aux grandes échelles du couplage entre plusieurs composants d'une turbomachine

La simulation aux grandes échelles (LES) de plusieurs composants d'une turbomachine est un outil présentant un grand potentiel pour étudier leur couplage et leurs performances dans une configuration réelle. Malheureusement, le coût de ce type de simulations est encore largement prohibitif pour être utilisées systématiquement dans la majorité des applications industrielles. Cette thèse présente donc plusieurs méthodes numériques pour réduire leur coût tout en conservant des résultats en adéquation avec les exigences de la LES. Le calcul des termes convectifs est un point crucial pour assurer la précision et la robustesse d'une LES. Après avoir décrit les schémas numériques de convection déjà disponibles dans le code AVBP, des améliorations et des optimisations sont proposées, en particulier pour améliorer leur comportement sur maillages non réguliers, utilisés pour la plupart des simulations industrielles. Le code AVBP est déjà utilisé en bureaux d'études chez Safran pour le dimensionnement de chambres de combustion modernes et son utilisation s'étend progressivement aux étages de turbomachines. Une amélioration de l'efficacité et de la robustesse du code permet donc d'avoir un impact direct sur son application en milieu industriel. Pour se faire, une nouvelle famille de schémas utilisant le formalisme de Petrov-Galerkin est introduite pour pallier aux problèmes de sensibilité des schémas existants, tout en permettant une montée en ordre. L'utilisation des méthodes de pas de temps local est aussi une option à considérer pour réduire le coût d'une simulation couplée. Une approche utilisant ce principe est validée sur des configurations académiques avant d'être appliquée à des configurations plus complexes pour démontrer ses gains potentiels. Enfin, pour reproduire le couplage entre plusieurs composants d'une turbomachine, l'utilisation de conditions limites plus réalistes peut également être envisagée. Ces nouvelles conditions limites issues de la décomposition modale d'une base de données enregistrée à l'interface chambre/turbine sont comparées à des conditions limites classiques dans le cas d'une simulation turbine isolée

Discontinuous fluctuation distribution

This paper proposes an approach to the approximation of time-dependent hyperbolic conservation laws which is both second order accurate in space and time (for any sufficiently smooth solution profile, even one containing turning points) and free of spurious oscillations for any time-step. The numerical algorithm is based on the concept of fluctuation distribution, applied on a space-time mesh of triangular prisms, for which second order accurate schemes already exist which are oscillation-free if the time-step satisfies a CFL-type constraint. This restriction is lifted here by combining the concept of a two-layer scheme with a representation of the solution which is allowed to be discontinuous in time. Numerical results are presented in two space dimensions, using unstructured meshes of space-time triangular prisms, for the scalar advection equation, Burgers' equation and the Euler equations of gasdynamics

Discontinuous fluctuation distribution: A route to unconditional positivity and high order accuracy

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