Polynomial-Time Rademacher Theorem, Porosity and Randomness

The main result of this paper is a polynomial time version of Rademacher\u27s theorem. We show that if z is p-random, then every polynomial time computable Lipschitz function f:R^n->R is differentiable at z. This is a generalization of the main result of [Nies, STACS2014]. To prove our main result, we introduce and study a new notion, p-porosity, and prove several results of independent interest. In particular, we characterize p-porosity in terms of polynomial time computable martingales and we show that p-randomness in R^n is invariant under polynomial time computable linear isometries

Computable classifications of continuous, transducer, and regular functions

We develop a systematic algorithmic framework that unites global and local classification problems for functional separable spaces and apply it to attack classification problems concerning the Banach space C[0,1] of real-valued continuous functions on the unit interval. We prove that the classification problem for continuous (binary) regular functions among almost everywhere linear, pointwise linear-time Lipshitz functions is $\Sigma^0_2$-complete. We show that a function $f\colon [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ is (binary) transducer if and only if it is continuous regular; interestingly, this peculiar and nontrivial fact was overlooked by experts in automata theory. As one of many consequences, our $\Sigma^0_2$-completeness result covers the class of transducer functions as well. Finally, we show that the Banach space $C[0,1]$ of real-valued continuous functions admits an arithmetical classification among separable Banach spaces. Our proofs combine methods of abstract computability theory, automata theory, and functional analysis.Comment: Revised argument in Section 5; results unchange

Le direzioni della logica in Italia: la reverse mathematics e l'analisi computazionale

Nelle conversazioni tra matematici non \ue8 infrequente sentire affermazioni del tipo \u201ci teoremi \u3a6 e \u3a8 sono equivalenti\u201d, oppure \u201cil teorema \u3a6 \ue8 pi\uf9 forte del teorema \u3a8\u201d. Dato che \u3a6 e \u3a8 (essendo teoremi) sono entrambi dimostrabili, prendendo alla lettera le due affermazioni abbiamo che la prima \ue8 banalmente vera e la seconda banalmente falsa. Sappiamo tutti per\uf2 che queste affermazioni hanno un altro significato, molto meno banale, e c\u2019\ue8 quindi una ragione per cui vengono fatte. Negli ultimi decenni la logica matematica ha sviluppato alcuni strumenti in grado di rendere precise, e suscettibili di dimostrazione o refutazione, affermazioni come le precedenti. In particolare ci riferiamo alla reverse mathematics e all\u2019analisi computazionale. Questi sono due programmi di ricerca di origine diverse che nell\u2019ultimo decennio, anche grazie al contributo di alcuni ricercatori italiani, hanno trovato significativi punti di contatto. In questo lavoro presenteremo i due programmi, con particolare riferimento alle loro aree di contatto. Evidenzieremo in particolare i contributi dei ricercatori italiani attivi in queste aree, e concluderemo indicando alcune prospettive di sviluppo su cui anche in Italia si sta cercando di lavorare