A note on a conjecture on consistent cycles

Let ▫$Gamma$▫ denote a finite digraph and let ▫$G$▫ be a subgroup of its automorphism group. A directed cycle ▫$vec{C}$▫ of▫ $Gamma$▫ is called ▫$G$▫-consistent whenever there is an element of ▫$G$▫ whose restriction to▫ $vec{C}$▫ is the 1-step rotation of ▫$vec{C}$▫. In this short note we provea conjecture on ▫$G$▫-consistent directed cycles stated by Steve Wilson

Consistent cycles in Graphs

Konsistente Kreise in endlichen Graphen wurden 1971 von J.H. Conway eingeführt. Er behauptete, dass die Anzahl der Orbits nicht trivialer konsistenter Kreise in einem endlichen Graphen um eins weniger als der Knotengrad des Graphen ist, wenn eine Untergruppe der vollen Automorphismengruppe bogentransitiv auf dem Graphen agiert. Ein Kreis wird konsistent unter der Aktion einer Automorphismengruppe genannt, wenn es ein Gruppenelement gibt, das den Kreis um einen Schritt rotiert. In der vorliegenden Diplomarbeit wird dieses Resultat von Conway auf unendliche Graphen und Automorphismengruppen, die knotentransitiv auf endlichen und unendlichen Graphen agieren, verallgemeinert. In unendlichen Graphen betrachten wir auch Doppelstrahlen als Kreise und definieren die Vielfachheit für Orbits von konsistenten Kreisen. Wir behaupten, dass die Summe der Vielfachheiten der Orbits von konsistenten Kreisen gleich dem Knotengrad des Graphen ist. Weiters zeigen wir, dass für diese Behauptung die Automorphismengruppe, die auf dem Graphen agiert, in der vollen Automorphismengruppe abgeschlossen sein muss. Hierfür betrachten wir Automorphismengruppen als topologische Gruppen bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz. Für den Beweis unseres Hauptsatzes verwenden wir die Idee von Biggs und Conway, einen Symmetrie Baum zu definieren, der alle Informationen über die Struktur der Kongruenzklassen von konsistenten Kreisen eines gegebenen Graphen und einer gegebenen Automorphismengruppe enthält. Wir zeigen die bijektive Korrespondenz zwischen den maximalen Wegen im Baum und den Kongruenzklassen von konsistenten Kreisen im Graphen.Consistent cycles in finite Graphs were introduced by J.H. Conway in 1971. He observed that if a subgroup of the full automorphism group of a graph acts arc-transitively on it, then the number of orbits of non-trivial consistent cycles under the action of the group on the graph is one less than the valence of the graph. A cycle is called consistent under a group of automorphisms acting on the graph if there exists an element rotating the cycle by one step. In this diploma thesis we generalize this result of Conway to infinite graphs and groups of automorphisms acting vertex-transitively on finite and infinite graphs. In infinite graphs we also consider double-rays as cycles and define the multiplicity of orbits of consistent cycles. We state that the sum of multiplicities of orbits of consistent cycles is equal to the degree of the graph. Further we show for this conjecture that the automorphism group acting on a graph has to be closed in the full automorphism group. Therefor we consider groups of automorphisms as topological groups with the topology of point-wise convergence. For the proof of our main theorem we use Biggs' and Conway's idea of defining a symmetry tree that encodes all the information about the structure of congruence classes of consistent cycles in a given graph and for a given group of automorphisms. We show the bijective correspondence between the maximal walks in the tree and the congruence classes of consistent cycles in the graph