A new proof of the flat wall theorem

We give an elementary and self-contained proof, and a numerical improvement, of a weaker form of the excluded clique minor theorem of Robertson and Seymour, the following. Let t,r >= 1 be integers, and let R = 49152t(24) (40t(2) +r). An r-wall is obtained from a 2r x r-grid by deleting every odd vertical edge in every odd row and every even vertical edge in every even row, then deleting the two resulting vertices of degree one, and finally subdividing edges arbitrarily. The vertices of degree two that existed before the subdivision are called the pegs of the r-wall. Let G be a graph with no Kt minor, and let W be an R-wall in G. We prove that there exist a set A subset of V(G) of size at most 12288t(24) and an r-subwall W' of W such that V(W') n A = 0 and W' is a flat wall in G A in the following sense. There exists a separation (X, Y) of G A such that X boolean AND Y is a subset of the vertex set of the cycle C' that bounds the outer face of W', V(W') subset of Y, every peg of W' belongs to X and the graph G[Y] can almost be drawn in the unit disk with the vertices X n Y drawn on the boundary of the disk in the order determined by C'. Here almost means that the assertion holds after repeatedly removing parts of the graph separated from X n Y by a cutset Z of size at most three, and adding all edges with both ends in Z. Our proof gives rise to an algorithm that runs in polynomial time even when r and t are part of the input instance. The proof is self-contained in the sense that it uses only results whose proofs can be found in textbooks. (C) 2017 The Authors. Published by Elsevier Inc

Interactive graph drawing with constraints

This thesis investigates the requirements for graph drawing stemming from practical applications, and presents both theoretical as well as practical results and approaches to handle them. Many approaches to compute graph layouts in various drawing styles exist, but the results are often not sufficient for use in practice. Drawing conventions, graphical notation standards, and user-defined requirements restrict the set of admissible drawings. These restrictions can be formalized as constraints for the layout computation. We investigate the requirements and give an overview and categorization of the corresponding constraints. Of main importance for the readability of a graph drawing is the number of edge crossings. In case the graph is planar it should be drawn without crossings, otherwise we should aim to use the minimum number of crossings possible. However, several types of constraints may impose restrictions on the way the graph can be embedded in the plane. These restrictions may have a strong impact on crossing minimization. For two types of such constraints we present specific solutions how to consider them in layout computation: We introduce the class of so-called embedding constraints, which restrict the order of the edges around a vertex. For embedding constraints we describe approaches for planarity testing, embedding, and edge insertion with the minimum number of crossings. These problems can be solved in linear time with our approaches. The second constraint type that we tackle are clusters. Clusters describe a hierarchical grouping of the graph's vertices that has to be reflected in the drawing. The complexity of the corresponding clustered planarity testing problem for clustered graphs is unknown so far. We describe a technique to compute a maximum clustered planar subgraph of a clustered graph. Our solution is based on an Integer Linear Program (ILP) formulation and includes also the first practical clustered planarity test for general clustered graphs. The resulting subgraph can be used within the first step of the planarization approach for clustered graphs. In addition, we describe how to improve the performance for pure clustered planarity testing by implying a branch-and-price approach. Large and complex graphs nowadays arise in many application domains. These graphs require interaction and navigation techniques to allow exploration of the underlying data. The corresponding concepts are presented and solutions for three practical applications are proposed: First, we describe Scaffold Hunter, a tool for the exploration of chemical space. We show how to use a hierarchical classification of molecules for the visual navigation in chemical space. The resulting visualization is embedded into an interactive environment that allows visual analysis of chemical compound databases. Finally, two interactive visualization approaches for two types of biological networks, protein-domain networks and residue interaction networks, are presented.In zahlreichen Anwendungsgebieten werden Informationen als Graphen modelliert und mithilfe dieser Graphen visualisiert. Eine übersichtliche Darstellung hilft bei der Analyse und unterstützt das Verständnis bei der Präsentation von Informationen mittels graph-basierter Diagramme. Neben allgemeinen ästhetischen Kriterien bestehen für eine solche Darstellung Anforderungen, die sich aus der Charakteristik der Daten, etablierten Darstellungskonventionen und der konkreten Fragestellung ergeben. Zusätzlich ist häufig eine individuelle Anpassung der Darstellung durch den Anwender gewünscht. Diese Anforderungen können mithilfe von Nebenbedingungen für die Berechnung eines Layouts formuliert werden. Trotz einer Vielzahl unterschiedlicher Anforderungen aus zahlreichen Anwendungsgebieten können die meisten Anforderungen über einige generische Nebenbedingungen formuliert werden. In dieser Arbeit untersuchen wir die Anforderungen aus der Praxis und beschreiben eine Zuordnung zu Nebenbedingungen für die Layoutberechnung. Wir geben eine Übersicht über den aktuellen Stand der Behandlung von Nebenbedingungen beim Zeichnen von Graphen und kategorisieren diese nach grundlegenden Eigenschaften. Von besonderer Wichtigkeit für die Qualität einer Darstellung ist die Anzahl der Kreuzungen. Planare Graphen sollten kreuzungsfrei gezeichnet werden, bei nicht-planaren Graphen sollte die minimale Anzahl Kreuzungen erreicht werden. Einige Nebenbedingungen beschränken jedoch die Möglichkeit, den Graph in die Ebene einzubetten. Dies kann starke Auswirkungen auf das Ergebnis der Kreuzungsminimierung haben. Zwei wichtige Typen solcher Nebenbedingungen werden in dieser Arbeit näher untersucht. Mit den Embedding Constraints führen wir eine Klasse von Nebenbedingungen ein, welche die mögliche Reihenfolge der Kanten um einen Knoten beschränken. Für diese Klasse präsentieren wir Linearzeitalgorithmen für das Testen der Planarität und das optimale Einfügen von Kanten unter Beachtung der Einbettungsbeschränkungen. Der zweite Typ von Nebenbedingungen sind Cluster, die eine hierarchische Gruppierung von Knoten vorgeben. Für das Testen der Cluster-Planarität unter solchen Nebenbedingungen ist die Komplexität bisher unbekannt. Wir beschreiben ein Verfahren, um einen maximalen Cluster-planaren Untergraphen zu berechnen. Wir nutzen dabei eine Formulierung als ganzzahliges lineares Programm sowie einen Branch-and-Cut Ansatz zur Lösung. Das Verfahren erlaubt auch die Bestimmung der Cluster-Planarität und stellt damit den ersten praktischen Ansatz zum Testen allgemeiner Clustergraphen dar. Zusätzlich beschreiben wir eine Verbesserung für den Fall, dass lediglich Cluster-Planarität getestet werden muss, der maximale Cluster-planare Untergraph aber nicht von Interesse ist. Für dieses Szenario geben wir eine vereinfachte Formulierung und präsentieren ein Lösungsverfahren, das auf einem Branch-and-Price Ansatz beruht. In der Praxis müssen häufig sehr große oder komplexe Graphen untersucht werden. Dazu werden entsprechende Interaktions- und Navigationsmethoden benötigt. Wir beschreiben die entsprechenden Konzepte und stellen Lösungen für drei Anwendungsbereiche vor: Zunächst beschreiben wir Scaffold Hunter, eine Software zur Navigation im chemischen Strukturraum. Scaffold Hunter benutzt eine hierarchische Klassifikation von Molekülen als Grundlage für die visuelle Navigation. Die Visualisierung ist eingebettet in eine interaktive Oberfläche die eine visuelle Analyse von chemischen Strukturdatenbanken erlaubt. Für zwei Typen von biologischen Netzwerken, Protein-Domänen Netzwerke und Residue-Interaktionsnetzwerke, stellen wir Ansätze für die interaktive Visualisierung dar. Die entsprechenden Layoutverfahren unterliegen einer Reihe von Nebenbedingungen für eine sinnvolle Darstellung

LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volume

LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volum

ConnectIt: A Framework for Static and Incremental Parallel Graph Connectivity Algorithms

Connected components is a fundamental kernel in graph applications due to its usefulness in measuring how well-connected a graph is, as well as its use as subroutines in many other graph algorithms. The fastest existing parallel multicore algorithms for connectivity are based on some form of edge sampling and/or linking and compressing trees. However, many combinations of these design choices have been left unexplored. In this paper, we design the ConnectIt framework, which provides different sampling strategies as well as various tree linking and compression schemes. ConnectIt enables us to obtain several hundred new variants of connectivity algorithms, most of which extend to computing spanning forest. In addition to static graphs, we also extend ConnectIt to support mixes of insertions and connectivity queries in the concurrent setting. We present an experimental evaluation of ConnectIt on a 72-core machine, which we believe is the most comprehensive evaluation of parallel connectivity algorithms to date. Compared to a collection of state-of-the-art static multicore algorithms, we obtain an average speedup of 37.4x (2.36x average speedup over the fastest existing implementation for each graph). Using ConnectIt, we are able to compute connectivity on the largest publicly-available graph (with over 3.5 billion vertices and 128 billion edges) in under 10 seconds using a 72-core machine, providing a 3.1x speedup over the fastest existing connectivity result for this graph, in any computational setting. For our incremental algorithms, we show that our algorithms can ingest graph updates at up to several billion edges per second. Finally, to guide the user in selecting the best variants in ConnectIt for different situations, we provide a detailed analysis of the different strategies in terms of their work and locality