On Families of Planar DAGs with Constant Stack Number

A $k$-stack layout (or $k$-page book embedding) of a graph consists of a total order of the vertices, and a partition of the edges into $k$ sets of non-crossing edges with respect to the vertex order. The stack number of a graph is the minimum $k$ such that it admits a $k$-stack layout. In this paper we study a long-standing problem regarding the stack number of planar directed acyclic graphs (DAGs), for which the vertex order has to respect the orientation of the edges. We investigate upper and lower bounds on the stack number of several families of planar graphs: We prove constant upper bounds on the stack number of single-source and monotone outerplanar DAGs and of outerpath DAGs, and improve the constant upper bound for upward planar 3-trees. Further, we provide computer-aided lower bounds for upward (outer-) planar DAGs

Upward planar drawings with two slopes

In an upward planar 2-slope drawing of a digraph, edges are drawn as straight-line segments in the upward direction without crossings using only two different slopes. We investigate whether a given upward planar digraph admits such a drawing and, if so, how to construct it. For the fixed embedding scenario, we give a simple characterisation and a linear-time construction by adopting algorithms from orthogonal drawings. For the variable embedding scenario, we describe a linear-time algorithm for single-source digraphs, a quartic-time algorithm for series-parallel digraphs, and a fixed-parameter tractable algorithm for general digraphs. For the latter two classes, we make use of SPQR-trees and the notion of upward spirality. As an application of this drawing style, we show how to draw an upward planar phylogenetic network with two slopes such that all leaves lie on a horizontal line

Planare Graphen und ihre Dualgraphen auf Zylinderoberflächen

In this thesis, we investigates plane drawings of undirected and directed graphs on cylinder surfaces. In the case of undirected graphs, the vertices are positioned on a line that is parallel to the cylinder’s axis and the edge curves must not intersect this line. We show that a plane drawing is possible if and only if the graph is a double-ended queue (deque) graph, i. e., the vertices of the graph can be processed according to a linear order and the edges correspond to items in the deque inserted and removed at their end vertices. A surprising consequence resulting from these observations is that the deque characterizes planar graphs with a Hamiltonian path. This result extends the known characterization of planar graphs with a Hamiltonian cycle by two stacks. By these insights, we also obtain a new characterization of queue graphs and their duals. We also consider the complexity of deciding whether a graph is a deque graph and prove that it is NP-complete. By introducing a split operation, we obtain the splittable deque and show that it characterizes planarity. For the proof, we devise an algorithm that uses the splittable deque to test whether a rotation system is planar. In the case of directed graphs, we study upward plane drawings where the edge curves follow the direction of the cylinder’s axis (standing upward planarity; SUP) or they wind around the axis (rolling upward planarity; RUP). We characterize RUP graphs by means of their duals and show that RUP and SUP swap their roles when considering a graph and its dual. There is a physical interpretation underlying this characterization: A SUP graph is to its RUP dual graph as electric current passing through a conductor to the magnetic field surrounding the conductor. Whereas testing whether a graph is RUP is NP-hard in general [Bra14], for directed graphs without sources and sink, we develop a linear-time recognition algorithm that is based on our dual graph characterization of RUP graphs.Die Arbeit beschäftigt sich mit planaren Zeichnungen ungerichteter und gerichteter Graphen auf Zylinderoberflächen. Im ungerichteten Fall werden Zeichnungen betrachtet, bei denen die Knoten auf einer Linie parallel zur Zylinderachse positioniert werden und die Kanten diese Linie nicht schneiden dürfen. Es kann gezeigt werden, dass eine planare Zeichnung genau dann möglich ist, wenn die Kanten des Graphen in einer double-ended queue (Deque) verarbeitet werden können. Ebenso lassen sich dadurch Queue, Stack und Doppelstack charakterisieren. Eine überraschende Konsequenz aus diesen Erkenntnissen ist, dass die Deque genau die planaren Graphen mit Hamiltonpfad charakterisiert. Dies erweitert die bereits bekannte Charakterisierung planarer Graphen mit Hamiltonkreis durch den Doppelstack. Im gerichteten Fall müssen die Kantenkurven entweder in Richtung der Zylinderachse verlaufen (SUP-Graphen) oder sich um die Achse herumbewegen (RUP-Graphen). Die Arbeit charakterisiert RUP-Graphen und zeigt, dass RUP und SUP ihre Rollen tauschen, wenn man Graph und Dualgraph betrachtet. Der SUP-Graph verhält sich dabei zum RUP-Graphen wie elektrischer Strom durch einen Leiter zum induzierten Magnetfeld. Ausgehend von dieser Charakterisierung ist es möglich einen Linearzeit-Algorithmus zu entwickeln, der entscheidet ob ein gerichteter Graph ohne Quellen und Senken ein RUP-Graph ist, während der allgemeine Fall NP-hart ist [Bra14]

Upward planarization and layout

Die Visualisierung von gerichteten azyklischen Graphen (DAGs) gehört zu den wichtigsten Aufgaben im automatischen Zeichnen von Graphen. Hierbei suchen wir für einen gegebenen DAG G eine Zeichnung von G (Aufwärtszeichnung von G genannt), sodass alle Kanten als Kurven streng monoton in vertikaler Richtung steigend gezeichnet werden. Um die Lesbarkeit der Zeichnung zu erhöhen, sollte neben der Aufwärtseigenschaft auch die Anzahl der Kantenkreuzungen in der Zeichnung möglichst gering sein. In dieser Dissertation entwerfen wir einen neuen Ansatz zur Visualisierung von gerichteten Graphen, der auf der Idee der Aufwärtsplanarisierung basiert. Wir stellen zuerst ein innovatives Aufwärtsplanarisierungverfahren vor, das neue Techniken für die Berechnung aufwärtsplanare Untergraphen und die anschließende Kanteneinfügephase einsetzt. Vor allem werden in dem neuen Verfahren keine Schichtungstechniken zur Kreuzungsminimierung benutzt, wie wir sie aus dem Zeichenverfahren von Sugiyama et al. [STT81] oder aus dem Aufwärtsplanarisierungsverfahren von Eiglsperger et al. [EKE03] kennen. Die Festlegung einer Schichtung kann nämlich zu sehr schlechten Ergebnissen führen. Folglich besitzt das neue Verfahren nicht die Nachteile der bisherigen Kreuzungsminimierungsverfahren. Experimentellen Analysen zeigen, dass das neue Aufwärtsplanarisierungsverfahren deutlich bessere Ergebnisse liefert als das klassische, auf Schichtungen basierende Kreuzungsminimierungsverfahren, und dies unabhängig von den benutzten Lösungsansätzen (heuristisch oder optimal) für die klevel Kreuzungsminimierungsphase. Auch im Vergleich mit den bekannten Aufwärtsplanarisierungsverfahren (Di Battista et al. [BPTT89] und Eiglsperger et al. [EKE03]) zeigt sich, dass der neue Ansatz weitaus bessere Ergebnisse liefert. Wir stellen auch zwei Erweiterungen des neuen Ansatzes vor: eine Erweiterung zur Aufwärtsplanarisierung von gerichteten Hypergraphen und eine zur Unterstützung von Port Constraints. Das Ergebnis der Aufwärtsplanarisierung ist eine aufwärtsplanare Repräsentation (UPR) — ein eingebetteter DAG, in dem Kreuzungen durch künstliche Dummy-Knoten modelliert werden. Wir stellen ein Layoutverfahren zur Realisierung solcher UPRs vor, d.h., ein Verfahren, das aus einem UPR eine Aufwärtszeichnung konstruiert, sodass die Kantenkreuzungen in der Zeichnung zu den Dummy-Knoten des gegebenen UPR korrespondieren. Die wenigen existierenden Zeichenverfahren zur Realisierung von UPRs sind sehr einfach und wurden ursprünglich entwickelt, um planare st-Graphen zu zeichnen. Unser neues Verfahren stellt somit das erste Layoutverfahren dar, das speziell im Hinblick auf die Realisierung von UPRs entworfen wurde. Es bietet zwei wichtige Vorteile gegenüber dem etablierten Standardzeichenalgorithmus von Sugiyama et al.: Die Zeichnungen besitzen wesentlich weniger Kreuzungen, was zur deutlichen Verbesserung der Lesbarkeit führt. Ferner sind sie strukturierter und machen einen aufgeräumteren Eindruck

An SPQR-tree-like embedding representation for level planarity

An SPQR-tree is a data structure that efficiently represents all planar embeddings of a biconnected planar graph. It is a key tool in a number of constrained planarity testing algorithms, which seek a planar embedding of a graph subject to some given set of constraints. We develop an SPQR-tree-like data structure that represents all level-planar embeddings of a biconnected level graph with a single source, called the LP-tree, and give a simple algorithm to compute it in linear time. Moreover, we show that LP-trees can be used to adapt three constrained planarity algorithms to the level-planar case by using them as a drop-in replacement for SPQR-trees

Kreisplanarität von Level-Graphen

In this dissertation we generalise the notion of level planar graphs in two directions: track planarity and radial planarity. Our main results are linear time algorithms both for the planarity test and for the computation of an embedding, and thus a drawing. Our algorithms use and generalise PQ-trees, which are a data structure for efficient planarity tests.In dieser Arbeit wird der Begriff Level-Planarität von Graphen auf zwei Arten erweitert: Spur-Planarität und radiale Level-Planarität. Die Hauptergebnisse sind Linearzeitalgorithmen zum Testen dieser Arten von Planarität und zur Erstellung einer entsprechenden Einbettung und somit einer Zeichnung. Die Algorithmen verwenden und generalisieren PQ-Bäume, eine bei effizienten Planaritätstests verwendete Datenstruktur