Compound Node-Kayles on Paths

In his celebrated book "On Number and Games" (Academic Press, New-York, 1976), J.H. Conway introduced twelve versions of compound games. We analyze these twelve versions for the Node-Kayles game on paths. For usual disjunctive compound, Node-Kayles has been solved for a long time under normal play, while it is still unsolved under mis\`ere play. We thus focus on the ten remaining versions, leaving only one of them unsolved.Comment: Theoretical Computer Science (2009) to appea

Impartial coloring games

Coloring games are combinatorial games where the players alternate painting uncolored vertices of a graph one of $k > 0$ colors. Each different ruleset specifies that game's coloring constraints. This paper investigates six impartial rulesets (five new), derived from previously-studied graph coloring schemes, including proper map coloring, oriented coloring, 2-distance coloring, weak coloring, and sequential coloring. For each, we study the outcome classes for special cases and general computational complexity. In some cases we pay special attention to the Grundy function

HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES Graphes et jeux combinatoires

On considère généralement que la théorie des graphes est née au 18e siècle, et qu'elle connaît un essor significatif depuis les années 1960. L'avènement de la théorie des jeux combinatoires est quant à lui plus récent (fin des années 1970). Ce domaine reste alors moins exploré dans la littérature, et de nombreuses études sur des techniques générales de résolution sont toujours actuellement en cours de construction. Dans ce mémoire, je propose plusieurs tours d'horizons à propos de problématiques bien ciblées de ces deux domaines.Dans un premier temps, je m'interroge sur la complexité des règles de jeux de suppression de tas. Il s'avère que dans la littérature, la complexité d'un jeu est souvent définie comme la complexité algorithmique d'une stratégie gagnante. Cependant, il peut aussi avoir du sens de s'interroger sur la nature des règles de jeu. Un premier pas dans cette direction a été fait avec l'introduction du concept de jeu dit invariant. On notera au passage que certains résultats obtenus ont mis en exergue des liens entre combinatoire des mots et stratégie gagnante d'un jeu. Dans un deuxième chapitre, j'aborde les jeux sous l'angle des graphes. Deux aspects sont considérés:* Un graphe peut être vu comme un support de jeu. Le cas du jeu de Nim et ses variantes sur les graphes y est examiné.* Certaines problématiques standard de théorie des graphes peuvent être transformées dans une version ludique. C'est d'ailleurs un objet d'étude de plus en plus prisé par la communauté. Nous détaillerons le cas des jeux de coloration sommet.Enfin, le dernier chapitre se concentre sur deux nouvelles variantes de problématiques issues de la théorie des graphes: le placement de graphes et les colorations distinguantes. J'en profite pour faire un état de l'art des principaux résultats sur ces deux domaines

Reinforcement Learning for Impartial Games and Complex Combinatorial Optimisation Problems

AlphaZero-style reinforcement learning algorithms have succeeded in various games, from traditional board games to advanced video games. However, their integration into combinatorial games, particularly impartial games, presents inherent challenges. A pivotal aspect of these challenges stems from the parity function's role in determining the winning strategies and the fact that they do not exploit the underlying structures of games besides the game rules. Within the domain of combinatorial optimisation, the task of finding large Condorcet domains is remarkably complex, marked by numerous local optima and deep-rooted mathematical structures. Notably, the most phenomenal method hinged mainly on Fishburn's alternating scheme, an approach intricately tied to the parity function. We demonstrate the intrinsic complexity of Condorcet domain generation by showcasing that diverse AI learning paradigms, from deep reinforcement learning and genetic algorithms to local search algorithms, tend to get stuck in some of the numerous local optima. Thus, a genuinely novel approach is needed. The main contribution of the thesis is to present a novel heuristic approach inspired by AlphaZero-style reinforcement learning but using significant expert domain knowledge and heavily relying on various databases accessed during the search. The Condorcet Domain Library, a research software written in C++ for high execution speed and providing Python interfaces for fast prototyping, was initially developed to implement the algorithm. It has evolved into a flexible library with various functionalities, underpinning multiple impactful research projects. In collaboration with mathematicians, further computational ideas, combined with our new algorithms and the library, led to new results for Condorcet domains, including the construction of a set-alternating scheme leading to a set of large CDs that were hitherto unknown and the discovery of new CDs with distinct properties, some of which are intriguingly linked to multi-agent systems. Furthermore, one of the most prominent results is the discovery of new record-breaking Condorcet domains on the number of alternatives ranging from 9 to 24