Nondegenerate 3D complex Euclidean superintegrable systems and algebraic varieties

A classical (or quantum) second order superintegrable system is an integrable n-dimensional Hamiltonian system with potential that admits 2n-1 functionally independent second order constants of the motion polynomial in the momenta, the maximum possible. Such systems have remarkable properties: multi-integrability and multi-separability, an algebra of higher order symmetries whose representation theory yields spectral information about the Schroedinger operator, deep connections with special functions and with QES systems. Here we announce a complete classification of nondegenerate (i.e., 4-parameter) potentials for complex Euclidean 3-space. We characterize the possible superintegrable systems as points on an algebraic variety in 10 variables subject to six quadratic polynomial constraints. The Euclidean group acts on the variety such that two points determine the same superintegrable system if and only if they lie on the same leaf of the foliation. There are exactly 10 nondegenerate potentials.Comment: 35 page

Solutions of some Monge-Amp\`ere equations with isolated and line singularities

In this paper, we study existence, regularity, classification, and asymptotical behaviors of solutions of some Monge-Amp\`ere equations with isolated and line singularities. We classify all solutions of $\det \nabla^2 u=1$ in $\R^n$ with one puncture point. This can be applied to characterize ellipsoids, in the same spirit of Serrin's overdetermined problem for the Laplace operator. In the case of having $k$ non-removable singular points for $k>1$, modulo affine equivalence the set of all generalized solutions can be identified as an explicit orbifold of finite dimension. We also establish existence of global solutions with general singular sets, regularity properties, and optimal estimates of the second order derivatives of generalized solutions near the singularity consisting of a point or a straight line. The geometric motivation comes from singular semi-flat Calabi-Yau metrics.Comment: 25 page

First integrals in stationary and axially symmetric space-times and sub-riemannian structures

(Erste) Integrale haben sowohl in der Physik als auch in der Mathematik große Bedeutung. Sie sind konstant entlang Lösungen der geodätischen oder Hamiltonschen Gleichungen. Killing-Tensoren entsprechen Integralen, welche homogene Polynome in den Impulsen sind. Die Dissertation untersucht die (Nicht-)Existenz von Integralen für stationär-axialsymmetrische Vakuum-Raumzeiten und sub-Riemannsche Strukturen. Es werden zwei neue Algorithmen vorgestellt, mit denen die Existenz von Killing-Tensoren für stationär-axialsymmetrische Vakuum-Metriken einfach und effizient untersucht werden kann. Mit Hilfe der Algorithmen wird die Nichtexistenz irreduzibler Killing-Tensoren bis zur Valenz 11 für die Darmois-Metrik (eine spezielle Zipoy-Voorhees-Metrik) gezeigt. Für eine nicht-statische Tomimatsu-Sato-Metrik wird die Nichtexistenz bis zum Grad 7 gezeigt. Die Anwendung der Methode für Metriken mit einem reellen Parameter wird an Hand der Zipoy-Voorhees-Metriken demonstriert. Für beliebige statisch-axialsymmetrische Vakuum-Metriken (Weyl-Metriken) zeigt die Arbeit die Reduzibilität involutiver Killing-Tensoren von Valenz 3. Für sub-Riemannsche Strukturen auf Distributionen vom Rang 2 in Carnot-Gruppen wird der Zusammenhang von Liouville-Integrabilität und der Größe der Symmetriealgebren untersucht. Es wird gezeigt, dass es sub-Riemannsche Strukturen gibt, die zwar ein hohes Maß an Symmetrie, aber nicht genügend Integrale für Liouville-Integrabilität besitzen

Overdetermined problems for the fractional Laplacian in exterior and annular sets

We consider a fractional elliptic equation in an unbounded set with both Dirichlet and fractional normal derivative datum prescribed. We prove that the domain and the solution are necessarily radially symmetric. The extension of the result in bounded non-convex regions is also studied, as well as the radial symmetry of the solution when the set is a priori supposed to be rotationally symmetric