Completeness and Decidability of Converse PDL in the Constructive Type Theory of Coq

International audienceThe completeness proofs for Propositional Dynamic Logic (PDL) in the literature are non-constructive and usually presented in an informal manner. We obtain a formal and constructive completeness proof for Converse PDL by recasting a completeness proof by Kozen and Parikh into our constructive setting. We base our proof on a Pratt-style decision method for satisfiability constructing finite models for satisfiable formulas and pruning refutations for unsatisfiable formulas. Completeness of Segerberg's axiomatization of PDL is then obtained by translating pruning refutations to derivations in the Hilbert system. We first treat PDL without converse and then extend the proofs to Converse PDL. All results are formalized in Coq/Ssreflect

A machine-checked constructive metatheory of computation tree logic

This thesis presents a machine-checked constructive metatheory of computation tree logic (CTL) and its sublogics K and K* based on results from the literature. We consider models, Hilbert systems, and history-based Gentzen systems and show that for every logic and every formula s the following statements are decidable and equivalent: s is true in all models, s is provable in the Hilbert system, and s is provable in the Gentzen system. We base our proofs on pruning systems constructing finite models for satisfiable formulas and abstract refutations for unsatisfiable formulas. The pruning systems are devised such that abstract refutations can be translated to derivations in the Hilbert system and the Gentzen system, thus establishing completeness of both systems with a single model construction. All results of this thesis are formalized and machine-checked with the Coq interactive theorem prover. Given the level of detail involved and the informal presentation in much of the original work, the gap between the original paper proofs and constructive machine-checkable proofs is considerable. The mathematical proofs presented in this thesis provide for elegant formalizations and often differ significantly from the proofs in the literature.Diese Dissertation beschreibt eine maschinell verifizierte konstruktive Metatheorie von computation tree logic (CTL) und deren Teillogiken K und K*. Wir betrachten Modelle, Hilbert-Kalküle und History-basierte Gentzen-Kalküle und zeigen, für jede betrachtete Logik und jede Formel s, Entscheidbarkeit und Äquivalenz der folgenden Aussagen: s gilt in allen Modellen, s ist im Hilbert-Kalkül ableitbar und s ist im Gentzen-Kalkül ableitbar. Die Beweise bauen auf Pruningsystemen auf, welche für erfüllbare Formeln endliche Modelle und für unerfüllbare Formeln abstrakte Widerlegungen konstruieren. Die Pruningsysteme sind so konstruiert, dass abstrakte Widerlegungen zu Widerlegungen sowohl im Hilbert- als auch im Gentzen-Kalkül übersetzt werden können. Dadurch wird es möglich, die Vollständigkeit beider Systeme mit nur einer Modellkonstruktion zu zeigen. Alle Ergebnisse dieser Dissertation sind formalisiert und maschinell verifiziert mit Hilfe des Beweisassistenten Coq. In Anbetracht der Fülle an Details und der informellen Beweisführung in großen Teilen der Originalliteratur, erfordert dies teilweise tiefgreifende Veränderungen an den Beweisen aus der Literatur. Die Beweise in der vorliegenden Arbeit sind so aufgebaut, dass sie zu eleganten Formalisierungen führen

A machine-checked constructive metatheory of computation tree logic

This thesis presents a machine-checked constructive metatheory of computation tree logic (CTL) and its sublogics K and K* based on results from the literature. We consider models, Hilbert systems, and history-based Gentzen systems and show that for every logic and every formula s the following statements are decidable and equivalent: s is true in all models, s is provable in the Hilbert system, and s is provable in the Gentzen system. We base our proofs on pruning systems constructing finite models for satisfiable formulas and abstract refutations for unsatisfiable formulas. The pruning systems are devised such that abstract refutations can be translated to derivations in the Hilbert system and the Gentzen system, thus establishing completeness of both systems with a single model construction. All results of this thesis are formalized and machine-checked with the Coq interactive theorem prover. Given the level of detail involved and the informal presentation in much of the original work, the gap between the original paper proofs and constructive machine-checkable proofs is considerable. The mathematical proofs presented in this thesis provide for elegant formalizations and often differ significantly from the proofs in the literature.Diese Dissertation beschreibt eine maschinell verifizierte konstruktive Metatheorie von computation tree logic (CTL) und deren Teillogiken K und K*. Wir betrachten Modelle, Hilbert-Kalküle und History-basierte Gentzen-Kalküle und zeigen, für jede betrachtete Logik und jede Formel s, Entscheidbarkeit und Äquivalenz der folgenden Aussagen: s gilt in allen Modellen, s ist im Hilbert-Kalkül ableitbar und s ist im Gentzen-Kalkül ableitbar. Die Beweise bauen auf Pruningsystemen auf, welche für erfüllbare Formeln endliche Modelle und für unerfüllbare Formeln abstrakte Widerlegungen konstruieren. Die Pruningsysteme sind so konstruiert, dass abstrakte Widerlegungen zu Widerlegungen sowohl im Hilbert- als auch im Gentzen-Kalkül übersetzt werden können. Dadurch wird es möglich, die Vollständigkeit beider Systeme mit nur einer Modellkonstruktion zu zeigen. Alle Ergebnisse dieser Dissertation sind formalisiert und maschinell verifiziert mit Hilfe des Beweisassistenten Coq. In Anbetracht der Fülle an Details und der informellen Beweisführung in großen Teilen der Originalliteratur, erfordert dies teilweise tiefgreifende Veränderungen an den Beweisen aus der Literatur. Die Beweise in der vorliegenden Arbeit sind so aufgebaut, dass sie zu eleganten Formalisierungen führen

Zero-one laws with respect to models of provability logic and two Grzegorczyk logics

It has been shown in the late 1960s that each formula of first-order logic without constants and function symbols obeys a zero-one law: As the number of elements of finite models increases, every formula holds either in almost all or in almost no models of that size. Therefore, many properties of models, such as having an even number of elements, cannot be expressed in the language of first-order logic. Halpern and Kapron proved zero-one laws for classes of models corresponding to the modal logics K, T, S4, and S5 and for frames corresponding to S4 and S5. In this paper, we prove zero-one laws for provability logic and its two siblings Grzegorczyk logic and weak Grzegorczyk logic, with respect to model validity. Moreover, we axiomatize validity in almost all relevant finite models, leading to three different axiom systems

Computability in constructive type theory

We give a formalised and machine-checked account of computability theory in the Calculus of Inductive Constructions (CIC), the constructive type theory underlying the Coq proof assistant. We first develop synthetic computability theory, pioneered by Richman, Bridges, and Bauer, where one treats all functions as computable, eliminating the need for a model of computation. We assume a novel parametric axiom for synthetic computability and give proofs of results like Rice’s theorem, the Myhill isomorphism theorem, and the existence of Post’s simple and hypersimple predicates relying on no other axioms such as Markov’s principle or choice axioms. As a second step, we introduce models of computation. We give a concise overview of definitions of various standard models and contribute machine-checked simulation proofs, posing a non-trivial engineering effort. We identify a notion of synthetic undecidability relative to a fixed halting problem, allowing axiom-free machine-checked proofs of undecidability. We contribute such undecidability proofs for the historical foundational problems of computability theory which require the identification of invariants left out in the literature and now form the basis of the Coq Library of Undecidability Proofs. We then identify the weak call-by-value λ-calculus L as sweet spot for programming in a model of computation. We introduce a certifying extraction framework and analyse an axiom stating that every function of type ℕ → ℕ is L-computable.Wir behandeln eine formalisierte und maschinengeprüfte Betrachtung von Berechenbarkeitstheorie im Calculus of Inductive Constructions (CIC), der konstruktiven Typtheorie die dem Beweisassistenten Coq zugrunde liegt. Wir entwickeln erst synthetische Berechenbarkeitstheorie, vorbereitet durch die Arbeit von Richman, Bridges und Bauer, wobei alle Funktionen als berechenbar behandelt werden, ohne Notwendigkeit eines Berechnungsmodells. Wir nehmen ein neues, parametrisches Axiom für synthetische Berechenbarkeit an und beweisen Resultate wie das Theorem von Rice, das Isomorphismus Theorem von Myhill und die Existenz von Post’s simplen und hypersimplen Prädikaten ohne Annahme von anderen Axiomen wie Markov’s Prinzip oder Auswahlaxiomen. Als zweiten Schritt führen wir Berechnungsmodelle ein. Wir geben einen kompakten Überblick über die Definition von verschiedenen Berechnungsmodellen und erklären maschinengeprüfte Simulationsbeweise zwischen diesen Modellen, welche einen hohen Konstruktionsaufwand beinhalten. Wir identifizieren einen Begriff von synthetischer Unentscheidbarkeit relativ zu einem fixierten Halteproblem welcher axiomenfreie maschinengeprüfte Unentscheidbarkeitsbeweise erlaubt. Wir erklären solche Beweise für die historisch grundlegenden Probleme der Berechenbarkeitstheorie, die das Identifizieren von Invarianten die normalerweise in der Literatur ausgelassen werden benötigen und nun die Basis der Coq Library of Undecidability Proofs bilden. Wir identifizieren dann den call-by-value λ-Kalkül L als sweet spot für die Programmierung in einem Berechnungsmodell. Wir führen ein zertifizierendes Extraktionsframework ein und analysieren ein Axiom welches postuliert dass jede Funktion vom Typ N→N L-berechenbar ist

Verified Decision Procedures for Modal Logics

We describe a formalization of modal tableaux with histories for the modal logics K, KT and S4 in Lean. We describe how we formalized the static and transitional rules, the non-trivial termination and the correctness of loop-checks. The formalized tableaux are essentially executable decision procedures with soundness and completeness proved. Termination is also proved in order to define them as functions in Lean. All of these decision procedures return a concrete Kripke model in cases where the input set of formulas is satisfiable, and a proof constructed via the tableau rules witnessing unsatisfiability otherwise. We also describe an extensible formalization of backjumping and its verified implementation for the modal logic K. As far as we know, these are the first verified decision procedures for these modal logics