Traits essentiels d'une formalisation adéquate

In order to decide whether a discursive product of human reason corresponds or not to the logical order, one must analyze it in terms of syntactic correctness, consistency, and validity. The first step in logical analysis is formalization, that is, the process by which logical forms of thoughts are represented in different formal languages or logical systems. Although each thought can be properly formalized in different ways, the formalization variants are not equally adequate. The adequacy of formalization seems to depend on several essential features: parsimony, accuracy, transparency, fertility and reliability. Because there is a partial antinomy between these traits, it is impossible to find a perfectly adequate variant of formalization. However, it is possible and preferable to reach a reasonable compromise by choosing the variant of formalization which satisfies all of these fundamental characteristics

Faciliter l'appropriation de la réflexion métalinguistique au cycle 3

Cet article rend compte d'une séance d'initiation à l'anglais en début de cycle 3, dans laquelle la dimension métalinguistique, autour de certaines caractéristiques de la morphologie verbale et de la catégorisation nominale, est importante. Toutefois, en dépit de leur vivacité, les échanges n'aboutissent pas clairement à l'élaboration de savoirs identifiés. L'activité met en relief un certain nombre de difficultés dans l'analyse métalinguistique comparative : ainsi, la base de données ne se prête pas toujours à des généralisations pertinentes ; les fonctionnements morpho-syntaxiques de L1 peuvent servir d'écran à l'observation de ceux de L2 (ou inversement) ; enfin, l'insuffisance de la prise en compte de paramètres discursifs et énonciatifs ne favorise pas l'appropriation des réflexions métalinguistiques par les apprenants eux-mêmes

Analyse de l'erreur en vérification probabiliste

La vérification de systèmes est aujourd’hui un sujet de recherche récurrent et différentes techniques permettent de vérifier formellement des systèmes critiques dont il faut impérativement garantir la correction. Nous consacrons ce mémoire à l’une des techniques les plus utilisées et les plus efficaces, l’évaluation de modèle. Schématiquement, pour vérifier un système par évaluation de modèle, on abstrait d’abord son comportement sous la forme d’un système de transitions appelé modèle. Ensuite, on formule une propriété désirée du système dans une logique temporelle. Enfin, on utilise un outil logiciel appelé vérificateur pour vérifier automatiquement si le modèle satisfait la propriété. Dans ce mémoire, nous voulons vérifier des propriétés d’atteignabilité dans des modèles probabilistes appelés processus de Markov étiquetés (en anglais, LMP pour Labelled Markov processes) et qui ont possiblement un ensemble d’états non dénombrable. Malheureusement, le vérificateur CISMO dédié à une famille de LMP ne gère pas les propriétés d’atteignabilité et aucun autre outil ne peut vérifier les LMP. Pour améliorer CISMO et atteindre notre objectif, nous avons rendu d’abord plus expressive sa logique de spécification de propriétés pour qu’elle exprime les propriétés d’atteignabilité sur les LMP. Ces propriétés expriment le fait qu’un état souhaité dans un système peut être atteint avec une certaine probabilité. Ensuite, nous avons implémenté dans CISMO une nouvelle approche de vérification d’une famille de propriétés d’atteignabilité qui contribue à l’évolution de la vérification probabiliste. Nous utilisons le théorème de la moyenne pour prouver que, pour tout LMP acceptable par CISMO et toute propriété d’atteignabilité, il existe une chaîne de Markov à temps discret (en anglais, DTMC pour Discrete Time Markov Chains) équivalent au LMP de point de vue atteignabilité moyenne et auquel on peut appliquer les algorithmes connus pour les systèmes probabilistes finis. Le DTMC est construit de telle sorte que nous inférons que le LMP satisfait la propriété d’atteignabilité, si et seulement si le DTMC la satisfait. Théoriquement, notre approche donne un résultat ultime exact et nous l’avons prouvé. À l’implémentation, nous utilisons une méthode d’intégration numérique pour déterminer les probabilités de transition dans le DTMC. Malgré les imprécisions numériques qui peuvent nuire au résultat d’une vérification, nous avons prouvé que notre approche a du sens en quantifiant les erreurs. Nous avons démontré d’une part que les erreurs numériques sont toujours bornées supérieurement dans le DTMC et avons montré d’autre part, qu’il existe une relation de bisimulation entre le LMP et le DTMC. Notre méthode est originale et repousse les limites de l’évaluation de modèle, notamment l’explosion combinatoire de l’espace d’états ou de chemins dans la vérification de systèmes probabilistes infinis.Systems verification is nowadays a major issue and various techniques verify formally critical systems for which correction must be ensured. The focus of this master’s thesis is on one of the most used and most effective systems verification techniques, modelchecking. Conceptually, to apply model-checking to a system, we first abstract its behavior in the form of a transitions system, the model. Then, we formulate a system property of interest in a temporal logic. Finally, a software called model-checker is used to verify automatically if the model satisfies the property. In this paper, we want to check reachability property in the probabilistic models called labelled Markov process (LMP) and which have possibly an uncountable set of states. Unfortunately, the model-checker CISMO dedicated to a family of LMP does not handle reachability properties and no other tool can verify LMP. To improve CISMO and achieve our goal, we first made more expressive its properties specification logic so that it can express reachability property on LMP. These properties express the fact that a desired state in a system can be reached with a certain probability. Secondly, we implemented in CISMO a new approach for the verification of a family of reachability properties. This is a contribution to the evolution of the probabilistic verification. We use the mean theorem to prove that, for any LMP acceptable by CISMO and for any reachability property, there is a discrete time process (DTMC) equivalent to the LMP according to the average reachability and on which we can apply known algorithms for probabilistic systems which have a countable set of states. The DTMC is constructed in such a way that we can infer the LMP satisfies the reachability property, if and only if the DTMC also satisfies it. Theoretically, our approach gives a precise final result and we prove it. At implementation, since the DTMC is subjected to numerical errors the result can be false, as expected. We use a numerical integration method to determine the transitions probabilities in the DTMC. Despite the errors that can affect the outcome of a verification, we have shown that our approach makes sense at implementation by quantifying the errors. We have shown on one hand that numerical errors are always bounded from above in the DTMC and we established, on the other hand, bisimulation relations between LMP, DTMC constructed theoretically, and DTMC generated algorithmically with errors. Our method is original and pushes the limits of model-checking, especially combinatorial explosion of the states space or paths in the verification of infinite probabilistic systems

Dimension de Krull, Nullstellens\"atze et \'Evaluation Dynamique

We prove constructively a Nullstellensatz giving an equivalence between the existence of a certain kind of algebraic identity on one hand, and the impossibility of finding an increasing sequence of irreducible varieties obeying certain constraints on the other hand. The ususal Nullstellensatz corresponds to the case of varieties that are reduced to a point. We settle also a similar formal Nullstellensatz related to increasing sequences of primes. An important particular case is given by the notion of pseudo regular sequence. This allows a new characterisation of the Krull dimension of a ring. This characterisation via pseudo regular sequences is elementary and constructive. Our method uses dynamical algebraic structures which were introduced in previous papers.Comment: in French languag

Répartition automatique des tâches parallèles : application dans la simulation de réseaux électriques en temps réel

Répartition automatique des tâches parallèles pour la simulation en temps réel -- Modélisation et analyse du problème de la répartition des tâches -- Méthode heuristique de répartition des tâches temps réel -- Heuristiques de répartition et performances de la méthode

Quelques contributions en logique mathématique et en théorie des automates

This work deals mainly with automata theory, mathematical logic and their applications. In the first part, we use finite automata to prove the automaticity of several logical structures over finite words written in a countable infinite alphabet. These structures involve predicates like ≺, "clone" and "diff", where x ≺ y holds if x is a strict prefix of y, clone(x) holds when the two last letters of x are equal, and diff(x) holds when all letters of x are pairwise distinct. The automaticity results allow to deduce the decidability of logical theories associated with these structures. Other related decidability/undecidability results are obtained by logical interpretation. In the second part, we generalize the concept of Common Follow Sets of a regular expression to homogeneous finite automata. Based on this concept and a particular class of binary trees, we devise an efficient algorithm to reduce/minimize the number of transitions of triangular automata. On the one hand, we prove that the produced reduced automaton is asymptotically minimal, in the sense that for an automaton with n states, the number of transitions in the reduced automaton is equivalent to n(log₂ n)², which corresponds at the same time to the upper and the lower known bounds. On the other hand, experiments reveal that for small values of n, all minimal automata are exactly those obtained by our reduction, which lead us to conjecture that our construction is not only a reduction but a minimization. In the last part, we present an experimental study on the use of special automata on partial words for the approximate pattern matching problem in dictionaries. Despite exponential theoretical time and space upper bounds, our experiments show that, in many practical cases, these automata have a linear size and allow a linear search timeLes problèmes traités et les résultats obtenus dans ce travail s'inscrivent essentiellement dans le domaine de la théorie des automates, la logique mathématique et leurs applications. Dans un premier temps on utilise les automates finis pour démontrer l'automaticité de plusieurs structures logiques sur des mots finis écrits dans un alphabet infini dénombrable. Ceci nous permet de déduire la décidabilité des théories logiques associées à ces structures. On a considéré par exemple la structure S=(Σ∗;≺,clone) où Σ∗ désigne l'ensemble des mots finis sur l'alphabet infini dénombrable Σ, ≺ désigne la relation de préfixe et "clone" désigne le prédicat qui est vrai pour un mot se terminant par deux lettres identiques. On a démontré l'automaticité de la structure S et la décidabilité de sa théorie du premier ordre et de sa théorie monadique du second ordre. On a aussi considéré des extensions de la structure S obtenues en ajoutant des prédicats comme ∼ qui est vrai pour deux mots de même longueur. Nous avons en particulier démontré la M-automaticité de la structure (Σ∗;≺,clone,∼), d'où la décidabilité de sa théorie du premier ordre. On a par ailleurs étudié des structures qui comportent le prédicat "diff" qui est vrai pour un mot dont les lettres sont toutes distinctes. En particulier on a démontré l'automaticité de la structure D=(Σ∗;≺,clone,diff) et la décidabilité de sa théorie du premier ordre et de sa théorie monadique du second ordre. On a également obtenu, par interprétation logique, des résultats de décidabilité et des résultats d'indécidabilité pour plusieurs variantes des structures S et D, ainsi que pour des familles de structures appelées structure d'applications exclusives et structure de décomposition. Dans un deuxième temps on s'est intéressé au problème de la réduction du nombre de transitions dans les automates finis. On a commencé par étendre le concept de Common Follow Sets d'une expression régulière aux automates finis homogènes. On a montré comment établir une liaison assez directe entre des systèmes de CFS spécifiques et les arbres binaires complets. Ce lien est prouvé en utilisant un objet combinatoire appelé triangle d'Ératosthène - Pascal. Cette correspondance permet de transformer la valeur qui nous intéresse (le nombre de transitions) en une valeur assez naturelle associée aux arbres (le poids d'un arbre). En effet, construire un automate ayant un minimum de transitions revient à trouver un arbre de poids minimal. On a montré, d'une part, que ce nombre de transitions est asymptotiquement équivalent à n(log₂ n)² (la borne inférieure). D'autre part, les tests expérimentaux montrent que pour les petites valeurs de n, les automates minimaux en nombre de transitions coïncident (en nombre et en taille) avec ceux obtenus par notre construction. Cela nous mène à suggérer que notre réduction est finalement une minimisation pour les automates triangulaires. Dans un dernier temps on a présenté une étude expérimentale concernant l'application des automates à trous dans le domaine de la recherche approchée de motif dans les dictionnaires de mots. Contrairement aux complexités théoriques, temps de recherche et espace de stockage exponentiels, nos expérimentations montrent la linéarité de l'automate à trou

Cercles vicieux, mathématiques et formalisations logiques

Some forms of circularity in Logic and Mathematics (self-membership, self-application, impredicativity, …) are analyzed as closure properties of suitable mathematical structures since they can be considered as solutions of some systems of equations. At the same time, from a philosophical point of view, we stress the contribution of these circularities to the power of mathematics in making the world intelligible;Certaines formes de circularité logiques et mathématiques (auto-appartenance, auto-implication, imprédicativité) sont analysées comme des propriétés de fermeture de certaines structures mathématiques puisqu'on peut les interpréter comme des solutions de certains systèmes d'équations. Parallèlement, du point de vue philosophique, on met en évidence la contribution de ces circularités au pouvoir des mathématiques à rendre le monde intelligible