Balance constants for Coxeter groups

The $1/3$-$2/3$ Conjecture, originally formulated in 1968, is one of the best-known open problems in the theory of posets, stating that the balance constant (a quantity determined by the linear extensions) of any non-total order is at least $1/3$. By reinterpreting balance constants of posets in terms of convex subsets of the symmetric group, we extend the study of balance constants to convex subsets $C$ of any Coxeter group. Remarkably, we conjecture that the lower bound of $1/3$ still applies in any finite Weyl group, with new and interesting equality cases appearing. We generalize several of the main results towards the $1/3$-$2/3$ Conjecture to this new setting: we prove our conjecture when $C$ is a weak order interval below a fully commutative element in any acyclic Coxeter group (an generalization of the case of width-two posets), we give a uniform lower bound for balance constants in all finite Weyl groups using a new generalization of order polytopes to this context, and we introduce generalized semiorders for which we resolve the conjecture. We hope this new perspective may shed light on the proper level of generality in which to consider the $1/3$-$2/3$ Conjecture, and therefore on which methods are likely to be successful in resolving it.Comment: 27 page

Information-theoretic lower bounds for quantum sorting

We analyze the quantum query complexity of sorting under partial information. In this problem, we are given a partially ordered set $P$ and are asked to identify a linear extension of $P$ using pairwise comparisons. For the standard sorting problem, in which $P$ is empty, it is known that the quantum query complexity is not asymptotically smaller than the classical information-theoretic lower bound. We prove that this holds for a wide class of partially ordered sets, thereby improving on a result from Yao (STOC'04)

Counting magic squares in quasi-polynomial time

We present a randomized algorithm, which, given positive integers n and t and a real number 0< epsilon <1, computes the number Sigma(n, t) of n x n non-negative integer matrices (magic squares) with the row and column sums equal to t within relative error epsilon. The computational complexity of the algorithm is polynomial in 1/epsilon and quasi-polynomial in N=nt, that is, of the order N^{log N}. A simplified version of the algorithm works in time polynomial in 1/epsilon and N and estimates Sigma(n,t) within a factor of N^{log N}. This simplified version has been implemented. We present results of the implementation, state some conjectures, and discuss possible generalizations.Comment: 30 page

A computational multi-scale approach for brittle materials

Materials of industrial interest often show a complex microstructure which directly influences their macroscopic material behavior. For simulations on the component scale, multi-scale methods may exploit this microstructural information. This work is devoted to a multi-scale approach for brittle materials. Based on a homogenization result for free discontinuity problems, we present FFT-based methods to compute the effective crack energy of heterogeneous materials with complex microstructures

Extensions of the Kahn--Saks inequality for posets of width two

The Kahn--Saks inequality is a classical result on the number of linear extensions of finite posets. We give a new proof of this inequality for posets of width two using explicit injections of lattice paths. As a consequence we obtain a $q$-analogue, a multivariate generalization and an equality condition in this case. We also discuss the equality conditions of the Kahn--Saks inequality for general posets and prove several implications between conditions conjectured to be equivalent.Comment: 25 pages; v3: added conditions to Theorem 1.4 and 1.6, revised Conjecture in Section 8, added example 1.

Γεωμετρικά Προβλήματα στη Μη-Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση

Συνδυάζοντας πιθανοθεωρητικές τεχνικές με γεωμετρικά και αναλυτικά εργαλεία, στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με έναν αριθμό προβλημάτων που εμπίπτουν στον ευρύτερο κλάδο της Ασυμπτωτικής Γεωμετρικής Ανάλυσης. Τα προβλήματα με τα οποία ασχολούμαστε περιλαμβάνουν α) μια μέθοδο Ευκλείδιας κανονικοποίησης ενός κυρτού σώματος σε θέση John, και εφαρμογές στην απόδειξη θεωρημάτων τύπου Dvoretzky, β) Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων, γ) Εκτιμήσεις για μέτρα τομών κυρτών σωμάτων, δ) Φαινόμενα κατωφλίου για τυχαία πολύτοπα σε υψηλές διαστάσεις και ε) Εκτιμήσεις για τα αφφινικά quermassintegrals κυρτών σωμάτων.Blending probabilistic techniques with geometric and analytical tools, we contribute to a number of problems in Asymptotic Geometric Analysis: a) New methods to establish Dvoretzky type theorems, using a method of &quot;Euclidean regularization&quot; of a convex body in John&apos;s position, b) Vector balancing problems, c) Estimates for measures of sections of convex bodies, d) Threshold phenomena for high dimensional random polytopes and e) Estimates for the affine quermassintegrals of convex bodies

Προβλήματα Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης

Συνδυάζοντας πιθανοθεωρητικές τεχνικές με γεωμετρικά και αναλυτικά εργαλεία, στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με έναν αριθμό προβλημάτων που εμπίπτουν στον ευρύτερο κλάδο της Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης. Βασικός άξονας είναι η μελέτη των ιδιοτήτων των (συμμετρικών) κυρτών σωμάτων του Ευκλείδειου χώρου από την ασυμπτωτική σκοπιά, θεωρώντας δηλαδή ότι η διάσταση n του υποκείμενου χώρου τείνει στο άπειρο. Ακολουθεί μια συνοπτική περιγραφή των αποτελεσμάτων της διατριβής. 1. Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων. Αποδεικνύουμε μια βελτιωμένη εκδοχή ενός αποτελέσματος του D. Hajela που σχετίζεται με ένα πολύ γνωστό πρόβλημα του Komlos. Στη συνέχεια γενικεύουμε αυτό το αποτέλεσμα για ανεξάρτητα τυχαία σημεία τα οποία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στην Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα ή οποιοδήποτε συμμετρικό κυρτό σώμα, και για τυχούσα νόρμα. 2. Αθροίσματα λογαριθμικά κοίλων τυχαίων διανυσμάτων με βάρη. Αποδεικνύουμε άνω φράγματα για τη μέση τιμή της νόρμας σταθμισμένου αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων διανυσμάτων με κατανομή ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας, απαντώντας σε ένα πρόβλημα του V. Milman. Παρουσιάζουμε επίσης εφαρμογές σε &quot;τυχαιοποιημένες&quot; εκδοχές προβλημάτων εξισορρόπησης διανυσμάτων. 3. Τυχαία κυρτά σύνολα. Μελετάμε δύο κλάσεις τυχαίων κυρτών συνόλων και δίνουμε άνω και κάτω φράγματα για τη μέση τιμή του όγκου τους. 4. Αφφινικά quermassintegrals τυχαίων πολυτόπων. Επαληθεύουμε, από την ασυμπτωτική σκοπιά, μια σχετική εικασία του Lutwak για κάποιες ευρείες κλάσεις τυχαίων πολυτόπων. 5. Ο συμμετρικός μέσος και η MM*-ανισότητα για ισοτροπικά κυρτά σώματα. Συζητάμε δύο γνωστά ανοικτά προβλήματα από την ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία. Το πρώτο πρόβλημα αφορά εκτιμήσεις για τον συμμετρικό μέσο sav(K) ενός κυρτού σώματος K, ενώ το δεύτερο αφορά άνω φράγματα για το μέσο πλάτος και τη μέση νόρμα ενός ισοτροπικού κυρτού σώματος. Δίνουμε απλούστερες αποδείξεις για τα καλύτερα μέχρι στιγμής γνωστά αποτελέσματα.Αγγλικά ή άλλη γλώσσα: We study a number of questions from Geometric Functional Analysis using geometric, analytic and probabilistic methods. 1. Vector balancing problems. We obtain an improved version of a result of D. Hajela concerning a well-known problem of Komlos. We also generalize this result to independent random vectors that are uniformly distributed in the Euclidean unit ball or an arbitrary symmetric convex body, and any norm. 2. Weighted sums of log-concave random vectors. We obtain upper bounds for the expected value of the norm of a weighted sum of independent random vectors distributed according to a log-concave isotropic probability measure, answering a question of V. Milman. We also present applications to &quot;randomized&quot; versions of vector balancing problems. 3. Random convex sets. We study two classes of random convex sets and provide upper and lower bounds for the expected value of their volume. 4. Affine quermassintegrals of random polytopes. We confirm, from an asymptotic point of view, a related conjecture of Lutwak for some broad classes of random polytopes. 5. The symmetric average and the MM*-inequality for isotropic convex bodies. We discuss two known problems from asymptotic convex geometry. The first problem asks for estimates on the symmetric average sav(K) of a convex body K, while the second one concerns upper bounds for the mean width and the mean norm of an isotropic convex body. We provide simpler proofs for the best, up to now, known results