On Field Size and Success Probability in Network Coding

Using tools from algebraic geometry and Groebner basis theory we solve two problems in network coding. First we present a method to determine the smallest field size for which linear network coding is feasible. Second we derive improved estimates on the success probability of random linear network coding. These estimates take into account which monomials occur in the support of the determinant of the product of Edmonds matrices. Therefore we finally investigate which monomials can occur in the determinant of the Edmonds matrix.Comment: 16 pages, 3 figures, 2 tables. Accepted for publication at International Workshop on the Arithmetic of Finite Fields, WAIFI 200

Технологія цифрового підпису DSA на основі арифметики полів Галуа

Запропоновано модифікацію алгоритму формування цифрового підпису DSA, що базується на новому використанні арифметики кінцевих полів. Наведено математичне обґрунтування запропонованого підходу. Описано технології генерації ключів, формування цифрового підпису та його перевірки. Для всіх цих процедур наведено числові приклади. Доведено, що використання арифметики кінцевих полів дозволяє помітно прискорити роботу з цифровим підписом. Запропонована модифікація алгоритму формування цифрового підпису DSA орієнтована на апаратну реалізацію.The modification of DSA techniques based on novel application of arithmetic of finite fields are presented. The mathematical background of the proposed approach is first presented. The techniques of public and secret keys generation, forming and verification of signature based of finite fields arithmetic are described. A numerical example for all mentioned procedures is given. It has been showed that using of finite fields arithmetic may greatly accelerate the processing of DSA signatures. The proposed DSA modification is oriented for hardware implementation

Indices isotypiques des éléments cyclotomiques.

25 pages, revised version, accepted for publication by Tokyo J. Maths.Given $F$ a real abelian field, $p$ an odd prime and $\chi$ any Dirichlet character of $F$ we give a method for computing the $\chi$-index $\displaystyle \left (H^1(G_S,\mathbb{Z}_p(r))^\chi: C^F(r)^\chi\right)$ where the Tate twist $r$ is an odd integer $r\geq 3$, the group $C^F(r)$ is the group of higher circular units, $G_S$ is the Galois group over $F$ of the maximal $S$ ramified algebraic extension of $F$, and $S$ is the set of places of $F$ dividing $p$. This $\chi$-index can now be computed in terms only of elementary arithmetic of finite fields \FM_\ell. Our work generalizes previous results by Kurihara who used the assumption that the order of $\chi$ divides $p-1$

Multiplicative Order of Gauss Periods

We obtain a lower bound on the multiplicative order of Gauss periods which generate normal bases over finite fields. This bound improves the previous bound of J. von zur Gathen and I. E. Shparlinski.Comment: 9 page