Outer Billiards, Arithmetic Graphs, and the Octagon

Outer Billiards is a geometrically inspired dynamical system based on a convex shape in the plane. When the shape is a polygon, the system has a combinatorial flavor. In the polygonal case, there is a natural acceleration of the map, a first return map to a certain strip in the plane. The arithmetic graph is a geometric encoding of the symbolic dynamics of this first return map. In the case of the regular octagon, the case we study, the arithmetic graphs associated to periodic orbits are polygonal paths in R^8. We are interested in the asymptotic shapes of these polygonal paths, as the period tends to infinity. We show that the rescaled limit of essentially any sequence of these graphs converges to a fractal curve that simultaneously projects one way onto a variant of the Koch snowflake and another way onto a variant of the Sierpinski carpet. In a sense, this gives a complete description of the asymptotic behavior of the symbolic dynamics of the first return map. What makes all our proofs work is an efficient (and basically well known) renormalization scheme for the dynamics.Comment: 86 pages, mildly computer-aided proof. My java program http://www.math.brown.edu/~res/Java/OctoMap2/Main.html illustrates essentially all the ideas in the paper in an interactive and well-documented way. This is the second version. The only difference from the first version is that I simplified the proof of Main Theorem, Statement 2, at the end of Ch.

Edge Cover Domination in Mangoldt Graph

In their recent study of arithmetic graphs associated with certain arithmetic functions, the authors have introduced a new class of arithmetic graphs associated with Mangoldt function Λ(n), n ≥ 1, an integer and studied their basic properties and vertex cover. In this paper the edge cover, edge domination set, bondage number, non – bondage number and their parameters have been obtained for these graphs. Key words: Vertex cover, Edge cover, Edge domination, Bondage number, Non-Bondage number

О структуре графа разложений образующих однородных натуральных арифметических графов

The paper is finished investigated of the homogenous natural arithmetic graphs using the generatrixes separation graph. A number of the assertions were proved. Structure of the ones graphs were described and investigated both for even and odd cases

О минимальном числе образующих полного подграфа NA-графа

Исследуются натуральные арифметические графы. Определяются необходимые и достаточные условия существования полных подграфов в таких графах.Досліджуються натуральні арифметичні графи. З’ясовується мінімальна кількість твірних для існування повного підграфа заданого порядку. Доведено ряд тверджень, що дозволяють визначати наявність повного підграфа у заданому довільному натуральному арифметичному графі.Natural arithmetic graphs are considered. Minimal generatrixes set for existence of complete graph of appropriate level is investigated. A number of proposition was proved to determine existence of complete subgraph in the target natural arithmetic graph

Об изоморфизме натуральных арифметических графов

Для натуральных арифметических графов (NA-графов) с одной образующей указываются признаки, позволяющие найти все множество изоморфных графов. Доказывается ряд утверждений, позволяющих конструктивно перечислить это множество.Для натуральных арифметических графов (NA-графов) с одной образующей указываются признаки, позволяющие найти все множество изоморфных графов. Доказывается ряд утверждений, позволяющих конструктивно перечислить это множество.For natural arithmetic graphs (NA-graphs) with single generatrix the features to find complete set of isomorphic graphs was shown. A number of assertions to allow constructive enumeration of the set were proved

Про часову складність алгоритму розкладання графів на різних структурах даних

Для представлення графів у вигляді матриць суміжності та натуральних арифметичних графів проведено оцінку часових складностей алгоритму розкладання графів за допомогою їх кістяків, здійснено порівняння цих складностей.Предложен алгоритм декомпозиции графов с помощью их остовов. Рассмотрено два способа представления графов: матрица смежности и натуральные арифметические графы. Проведено оценку временной сложности данного алгоритма для этих способов, приведено их сравнение.An algorithm of decomposition of graphs using their skeletons is proposed. Adjacency matrix and natural arithmetic graphs with three generatrices are considered. Time complexity of decomposition algorithms for these data structures is evaluated