Some colouring problems for Paley graphs

The Paley graph Pq, where q≡1(mod4) is a prime power, is the graph with vertices the elements of the finite field Fq and an edge between x and y if and only if x-y is a non-zero square in Fq. This paper gives new results on some colouring problems for Paley graphs and related discussion. © 2005 Elsevier B.V. All rights reserved

Edge and total colourings of graphs

Die vorliegenden Arbeit enthält Ergebnisse zu Kanten- und Totalfärbungen von Graphen sowie verschiedenen Variationen dieser Färbungen. Eine Kantenfärbung eines Graphen G ist eine Zuordnung von Farben zu den Kanten von G, so dass adjazente Kanten unterschiedliche Farben erhalten. Eine Totalfärbung ist eine Färbung der Knoten und Kanten von G, so dass adjazente Knoten, adjazente Kanten sowie ein Knoten und eine inzidente Kante jeweils unterschiedlich gefärbt werden. Der chromatische Index bzw. die totalchromatische Zahl von G bezeichnen die kleinste Anzahl von Farben, mit denen G kantenfärbbar bzw. totalfärbbar ist. In dieser Arbeit wird unter anderem die totalchromatische Zahl zirkulanter Graphen mit Maximalgrad 3 bestimmt sowie ein Algorithmus entwickelt, der alle planaren kritischen Graphen der Kantenfärbung mit bis zu 12 Knoten konstruiert und darstellt. Das Konzept der Kreisfärbung von Graphen wird von Knoten- auf Kanten- und Totalfärbung übertragen; Eigenschaften des kreischromatischen Index und der kreistotalchromatischen Zahl werden bewiesen und exakte Werte für einige Graphenklassen ermittelt. Die listenchromatische Vermutung wird für outerplanare Graphen mit Maximalgrad >4 bewiesen. Die Konzepte der (a,b)- und (a,b,r)-Listen- färbung werden von Knotenfärbung auf Kantenfärbung übertragen; es werden Eigenschaften dieser Färbungen und Ergebnisse für einzelne Graphenklassen hergeleitet.This thesis contains results for edge and total colourings as well as for some variations of these colourings. An edge colouring of a graph G is an assignment of colours to the edges of G such that adjacent edges are coloured differently. A total colouring is a colouring of the vertices and edges of G such that adjacent vertices, adjacent edges as well as a vertex and an incident edge are coloured differently. The chromatic index or the total chromatic number of G denote the minimum number of colours such that G admits an edge colouring or a total colouring, respectively. Results in this thesis are - among others - the total chromatic number of circulant graphs with maximum degree 3 and an algorithm to construct and draw all planar critical graphs with at most 12 vertices. The concept of circular colourings is transferred from vertex to edge and total colourings. Properties of the circular chromatic index and the circular total chromatic number are proven and exact values are determined for some classes of graphs. The list chromatic conjecture is confirmed for outerplanar graphs with maximum degree >4; the concepts of (a,b)- and (a,b,r)-list colourings are transferred from vertex to edge colouring and properties of these colourings as well as results for special classes of graphs are given