Tribonacci and Tribonacci-Lucas Sedenions

The sedenions form a 16-dimensional Cayley-Dickson algebra. In this paper, we introduce the Tribonacci and Tribonacci-Lucas sedenions. Furthermore, we present some properties of these sedenions and derive relationships between them.Comment: 17 pages, 1 figur

An Invitation to Hypercomplex Phase Retrieval: Theory and Applications

Hypercomplex signal processing (HSP) provides state-of-the-art tools to handle multidimensional signals by harnessing intrinsic correlation of the signal dimensions through Clifford algebra. Recently, the hypercomplex representation of the phase retrieval (PR) problem, wherein a complex-valued signal is estimated through its intensity-only projections, has attracted significant interest. The hypercomplex PR (HPR) arises in many optical imaging and computational sensing applications that usually comprise quaternion and octonion-valued signals. Analogous to the traditional PR, measurements in HPR may involve complex, hypercomplex, Fourier, and other sensing matrices. This set of problems opens opportunities for developing novel HSP tools and algorithms. This article provides a synopsis of the emerging areas and applications of HPR with a focus on optical imaging.Comment: 10 pages, 4 figures, 2 table

Algèbres hypercomplexes pour le Calcul

Dans les domaines mathématique ou applicatif, la multiplication de nombres possède un rôle clef pour le Calcul. En Science et en Ingénierie, la nonlinéarité offre de grands défis de modélisation mais aussi de résolution. Notre approche vise, via la multiplication, l'étude de certains phénomènes non linéaires que l'on retrouve fréquemment dans le domaine de la Science et de l'Industrie. Pour cela, nous étudions dans cette thèse la multiplication de nombres multidimensionnels, associée à des structures algébriques en dimension finie appelées algèbres hypercomplexes. Nous utilisons la multiplication comme lien entre les divisions apparentes des différents domaines théorique et pratique que nous abordons par une approche transdisciplinaire. Nous effectuons une analyse comparative entre les algèbres hypercomplexes et les principaux outils de Calcul, approche qui n’est pas développée dans la littérature existante. Nous présentons une synthèse des applications existantes (par ex. robotique, modélisation 3D, électromagnétisme) et des principaux avantages des algèbres hypercomplexes, pour la Science et l’Ingénierie. A partir des conséquences de l’utilisation des structures alternatives (autres que réelles ou complexes), nous proposons une extension nouvelle de la théorie spectrale présentée sous le nom de couplage spectral. Grâce aux algèbres hypercomplexes et à la théorie du couplage spectral, nous présentons des applications inédites à la mécanique et à la chimie ainsi que des perspectives pour le domaine du calcul quantique. Pour les domaines d’applications présentés, existants ou inédits, nous étudions les aspects de modélisation théorique et aussi d’analyse numérique. Nous montrons que suivant les cas d'étude, les aspects numériques avantageux découlent d'un choix judicieux des modèles et des algèbres hypercomplexes associées. Ces avantages sont principalement dus à la manière de définir la multiplication dans les algèbres concernées. Dans les domaines applicatifs abordés, une grande partie des modèles théoriques et numériques repose actuellement sur l’utilisation des nombres réels ou complexes ainsi que sur l’algèbre linéaire. Nous montrons dans cette thèse que les algèbres hypercomplexes sont complémentaires des outils algébriques actuellement utilisés et possèdent un vaste potentiel théorique et pratique, grandement sous-exploité pour le Calcul

Solving the nearest rotation matrix problem in three and four dimensions with applications in robotics

Aplicat embargament des de la data de defensa fins ei 31/5/2022Since the map from quaternions to rotation matrices is a 2-to-1 covering map, this map cannot be smoothly inverted. As a consequence, it is sometimes erroneously assumed that all inversions should necessarily contain singularities that arise in the form of quotients where the divisor can be arbitrarily small. This misconception was clarified when we found a new division-free conversion method. This result triggered the research work presented in this thesis. At first glance, the matrix to quaternion conversion does not seem to be a relevant problem. Actually, most researchers consider it as a well-solved problem whose revision is not likely to provide any new insight in any area of practical interest. Nevertheless, we show in this thesis how solving the nearest rotation matrix problem in Frobenius norm can be reduced to a matrix to quaternion conversion. Many problems, such as hand-eye calibration, camera pose estimation, location recognition, image stitching etc. require finding the nearest proper orthogonal matrix to a given matrix. Thus, the matrix to quaternion conversion becomes of paramount importance. While a rotation in 3D can be represented using a quaternion, a rotation in 4D can be represented using a double quaternion. As a consequence, the computation of the nearest rotation matrix in 4D, using our approach, essentially follow the same steps as in the 3D case. Although the 4D case might seem of theoretical interest only, we show in this thesis its practical relevance thanks to a little known mapping between 3D displacements and 4D rotations. In this thesis we focus our attention in obtaining closed-form solutions, in particular those that only require the four basic arithmetic operations because they can easily be implemented on microcomputers with limited computational resources. Moreover, closed-form methods are preferable for at least two reasons: they provide the most meaningful answer because they permit analyzing the influence of each variable on the result; and their computational cost, in terms of arithmetic operations, is fixed and assessable beforehand. We have actually derived closed-form methods specifically tailored for solving the hand-eye calibration and the pointcloud registration problems which outperform all previous approaches.Dado que la función que aplica a cada cuaternión su matrix de rotación correspondiente es 2 a 1, la inversa de esta función no es diferenciable en todo su dominio. Por consiguiente, a veces se asume erróneamente que todas las inversiones deben contener necesariamente singularidades que surgen en forma de cocientes donde el divisor puede ser arbitrariamente pequeño. Esta idea errónea se aclaró cuando encontramos un nuevo método de conversión sin división. Este resultado desencadenó el trabajo de investigación presentado en esta tesis. A primera vista, la conversión de matriz a cuaternión no parece un problema relevante. En realidad, la mayoría de los investigadores lo consideran un problema bien resuelto cuya revisión no es probable que proporcione nuevos resultados en ningún área de interés práctico. Sin embargo, mostramos en esta tesis cómo la resolución del problema de la matriz de rotación más cercana según la norma de Frobenius se puede reducir a una conversión de matriz a cuaternión. Muchos problemas, como el de la calibración mano-cámara, el de la estimación de la pose de una cámara, el de la identificación de una ubicación, el del solapamiento de imágenes, etc. requieren encontrar la matriz de rotación más cercana a una matriz dada. Por lo tanto, la conversión de matriz a cuaternión se vuelve de suma importancia. Mientras que una rotación en 3D se puede representar mediante un cuaternión, una rotación en 4D se puede representar mediante un cuaternión doble. Como consecuencia, el cálculo de la matriz de rotación más cercana en 4D, utilizando nuestro enfoque, sigue esencialmente los mismos pasos que en el caso 3D. Aunque el caso 4D pueda parecer de interés teórico únicamente, mostramos en esta tesis su relevancia práctica gracias a una función poco conocida que relaciona desplazamientos en 3D con rotaciones en 4D. En esta tesis nos centramos en la obtención de soluciones de forma cerrada, en particular aquellas que solo requieren las cuatro operaciones aritméticas básicas porque se pueden implementar fácilmente en microcomputadores con recursos computacionales limitados. Además, los métodos de forma cerrada son preferibles por al menos dos razones: proporcionan la respuesta más significativa porque permiten analizar la influencia de cada variable en el resultado; y su costo computacional, en términos de operaciones aritméticas, es fijo y evaluable de antemano. De hecho, hemos derivado nuevos métodos de forma cerrada diseñados específicamente para resolver el problema de la calibración mano-cámara y el del registro de nubes de puntos cuya eficiencia supera la de todos los métodos anteriores.Postprint (published version

Conformal electromagnetic wave propagation using primal mimetic finite elements

Elektromagnetische Wellenausbreitung bildet die physikalische Grundlage für unzählige Anwendungen in verschiedenen Bereichen der heutigen Welt. Um räumliche Szenarien zu modellieren, muss der kontinuierliche Raum in geeigneter Weise in ein Rechengebiet umgewandelt werden. Üblich diskretisierte Modelle – welche auf verschiedenen Größen beruhen – berücksichtigen die Beziehungen zwischen Feldvariablen mittels Relationen, welche durch partielle Differentialgleichungen repräsentiert werden. Um mathematische Beziehungen zwischen abhängigen Variablen in zweckdienlicher Art nachzubilden, schaffen hyperkomplexe Zahlensysteme ein passendes alternatives Rahmenwerk. Dieser Ansatz bezweckt das Einbinden bestimmter Systemeigenschaften und umfasst zusätzlich zur Modellierung von Feldproblemen, bei denen alle Variablen vorkommen, auch vereinfachte Modelle. Um eine wettbewerbsfähige Alternative zur üblichen numerischen Behandlung elektromagnetischer Felder in beobachtungsorientierter Weise darzubieten, wird das elektrische und magnetische Feld elektromagnetischer Wellenfelder als eine zusammengefasste Feldgröße, eingebettet im Funktionenraum, verstanden. Dieses Vorgehen ist intuitiv, da beide Felder in der Elektrodynamik gemeinsam auftreten und direkt messbar sind. Der Schwerpunkt dieser Arbeit ist in zwei Ziele untergliedert. Auf der einen Seite wird ein umformuliertes Maxwell-System in einer metrikfreien Umgebung mittels dem sogenannten „bikomplexen Ansatz“ umfassend untersucht. Auf der anderen Seite wird eine mögliche numerische Implementierung hinsichtlich der Finite-Elemente-Methode auf modernem Wege durch Nutzung der diskreten äußeren Analysis mit Fokus auf Genauigkeitsbelange bewertet. Hinsichtlich der numerischen Genauigkeitsbewertung wird demonstriert, dass der vorgelegte Ansatz grundsätzlich eine höhere Exaktheit zeigt, wenn man ihn mit Formulierungen vergleicht, welche auf der Helmholtz-Gleichung beruhen. Diese Dissertation trägt eine generalisierte hyperkomplexe alternative Darstellung von gewöhnlichen elektrodynamischen Ausdrucksweisen zum Themengebiet der Wellenausbreitung bei. Durch die Nutzung einer direkten Formulierung des elektrischen Feldes in Verbindung mit dem magnetischen Feld wird die Rechengenauigkeit von Randwertproblemen erhöht. Um diese Genauigkeitserhöhung zu erreichen, wird eine geeignete Erweiterung der de Rham-Kohomologie unterbreitet.Electromagnetic wave propagation provides the physical basis for countless applications in various subjects of today’s world. In order to model spatial scenarios, the continuous space must be converted to an appropriate computational domain. Ordinarily discretized models – which are based on distinct quantities – consider the connection between field variables by relations which are represented by partial differential equations. To reproduce mathematical relationships between dependent variables in a convenient manner, hypercomplex number systems build a suitable alternative framework. This approach aims to incorporate certain system properties and covers, in addition to the modeling of field problems where all variables are present, also simplified models. To provide a competitive alternative to the ordinary numerical handling of electromagnetic fields in an observation-based way, the electric and magnetic field of electromagnetic wave fields is understood as only one combined field variable embedded in the function space. This procedure is intuitive since both fields occur together in electrodynamics and are directly measureable. The focus of this thesis is twofold. On the one side, a reformulated Maxwell system is broadly investigated in a metric-free environment by the use of the so-called ”bicomplex approach”. On the other side, a possible numerical implementation concerning the Finite Element Method is evaluated in a modern way by the use of discrete exterior calculus with focus on accuracy matters. Regarding the numerical accuracy evaluation, it is demonstrated that the presented approach yields a higher exactness in general when comparing it to formulations which are based on the Helmholtz equation. This thesis contributes generalized hypercomplex alternative representations of ordinary electrodynamic expressions to the topic of wave propagation. By the use of a direct formulation of the electric field in conjunction with the magnetic field, the computational accuracy of boundary value problems is improved. In order to achieve this increase of accuracy, an appropriate enhancement of the de Rham cohomology is proposed