A parameterized halting problem, the linear time hierarchy, and the MRDP theorem

The complexity of the parameterized halting problem for nondeterministic Turing machines p-Halt is known to be related to the question of whether there are logics capturing various complexity classes [10]. Among others, if p-Halt is in para-AC0, the parameterized version of the circuit complexity class AC0, then AC0, or equivalently, (+, x)-invariant FO, has a logic. Although it is widely believed that p-Halt ∉. para-AC0, we show that the problem is hard to settle by establishing a connection to the question in classical complexity of whether NE ⊈ LINH. Here, LINH denotes the linear time hierarchy. On the other hand, we suggest an approach toward proving NE ⊈ LINH using bounded arithmetic. More specifically, we demonstrate that if the much celebrated MRDP (for Matiyasevich-Robinson-Davis-Putnam) theorem can be proved in a certain fragment of arithmetic, then NE ⊈ LINH. Interestingly, central to this result is a para-AC0 lower bound for the parameterized model-checking problem for FO on arithmetical structures.Peer ReviewedPostprint (author's final draft

Separating Cook Completeness from Karp-Levin Completeness Under a Worst-Case Hardness Hypothesis

We show that there is a language that is Turing complete for NP but not many-one complete for NP, under a worst-case hardness hypothesis. Our hypothesis asserts the existence of a non-deterministic, double-exponential time machine that runs in time O(2^2^n^c) (for some c > 1) accepting Sigma^* whose accepting computations cannot be computed by bounded-error, probabilistic machines running in time O(2^2^{beta * 2^n^c) (for some beta > 0). This is the first result that separates completeness notions for NP under a worst-case hardness hypothesis

P-Selectivity, Immunity, and the Power of One Bit

We prove that P-sel, the class of all P-selective sets, is EXP-immune, but is not EXP/1-immune. That is, we prove that some infinite P-selective set has no infinite EXP-time subset, but we also prove that every infinite P-selective set has some infinite subset in EXP/1. Informally put, the immunity of P-sel is so fragile that it is pierced by a single bit of information. The above claims follow from broader results that we obtain about the immunity of the P-selective sets. In particular, we prove that for every recursive function f, P-sel is DTIME(f)-immune. Yet we also prove that P-sel is not \Pi_2^p/1-immune

Finite-State Genericity : on the Diagonalization Strength of Finite Automata

Algorithmische Generizit¨atskonzepte spielen eine wichtige Rolle in der Berechenbarkeitsund Komplexit¨atstheorie. Diese Begriffe stehen in engem Zusammenhang mit grundlegenden Diagonalisierungstechniken, und sie wurden zur Erzielung starker Trennungen von Komplexit¨atsklassen verwendet. Da f¨ur jedes Generizit¨atskonzept die zugeh¨origen generischen Mengen eine co-magere Klasse bilden, ist die Analyse generischer Mengen ein wichtiges Hifsmittel f¨ur eine quantitative Analyse struktureller Ph¨anomene. Typischerweise werden Generizit¨atskonzepte mit Hilfe von Erweiterungsfunktionen definiert, wobei die St¨arke eines Konzepts von der Komplexit¨at der zugelassenen Erwiterungsfunktionen abh¨angt. Hierbei erweisen sich die sog. schwachen Generizit¨atskonzepte, bei denen nur totale Erweiterungsfunktionen ber¨ucksichtigt werden, meist als wesentlich schw¨acher als die vergleichbaren allgemeinen Konzepte, bei denen auch partielle Funktionen zugelassen sind. Weiter sind die sog. beschr¨ankten Generizit¨atskonzepte – basierend auf Erweiterungen konstanter L¨ange – besonders interessant, da hier die Klassen der zugeh¨origen generischen Mengen nicht nur co-mager sind sondern zus¨atzlich Maß 1 haben. Generische Mengen diesen Typs sind daher typisch sowohl im topologischen wie im maßtheoretischen Sinn. In dieser Dissertation initiieren wir die Untersuchung von Generizit¨at im Bereich der Theorie der Formalen Sprachen: Wir f¨uhren finite-state-Generizit¨atskonzepte ein und verwenden diese, um die Diagonalisierungsst¨arke endlicher Automaten zu erforschen. Wir konzentrieren uns hierbei auf die beschr¨ankte finite-state-Generizit¨at und Spezialf ¨alle hiervon, die wir durch die Beschr¨ankung auf totale Erweiterungsfunktionen bzw. auf Erweiterungen konstanter L¨ange erhalten. Wir geben eine rein kombinatorische Charakterisierung der beschr¨ankt finite-state-generischen Mengen: Diese sind gerade die Mengen, deren charakteristische Folge saturiert ist, d.h. jedes Bin¨arwort als Teilwort enth¨alt. Mit Hilfe dieser Charakterisierung bestimmen wir die Komplexit¨at der beschr¨ankt finitestate- generischen Mengen und zeigen, dass solch eine generische Menge nicht regul¨ar sein kann es aber kontext-freie Sprachen mit dieser Generizit¨atseigenschaft gibt. Die von uns betrachteten unbeschr¨ankten finite-state-Generizit¨atskonzepte basieren auf Moore-Funktionen und auf Verallgemeinerungen dieser Funktionen. Auch hier vergleichen wir die St¨arke der verschiedenen korrespondierenden Generizit¨atskonzepte und er¨ortern die Frage, inwieweit diese Konzepte m¨achtiger als die beschr¨ankte finite-state-Generizit ¨at sind. Unsere Untersuchungen der finite-state-Generizit¨at beruhen zum Teil auf neuen Ergebnissen ¨uber Bi-Immunit¨at in der Chomsky-Hierarchie, einer neuen Chomsky-Hierarchie f¨ur unendliche Folgen und einer gr¨undlichen Untersuchung der saturierten Folgen. Diese Ergebnisse – die von unabh¨angigem Interesse sind – werden im ersten Teil der Dissertation vorgestellt. Sie k¨onnen unabh¨angig von dem Hauptteil der Arbeit gelesen werden