Parameteridentifikation und Optimale Versuchsplanung bei instationären partiellen Differentialgleichungen

In dieser Arbeit wird beschrieben, wie ein Modellparameter einer instationären partiellen Differentialgleichung mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden kann und wie die Zuverlässigkeit bei einer solchen Schätzung durch Bestimmung eines D-optimalen Designs maximiert werden kann. Diesbezüglich wird die Fisher-Informationsmatrix verwendet. Am Beispiel eines Säulenchromatographieprozesses werden die in dieser Arbeit beschriebenen Optimierungsverfahren numerisch umgesetzt

Identification of model and grid parameters for incompressible turbulent flows

In dieser Arbeit wird das Verhalten von Turbulenzmodellen bei inkompressiblen turbulenten Strömungen mithilfe des DLR-THETA-Codes studiert. Wichtige Modell- und Gitter-Parameter werden durch numerische Simulationen kalibriert. Large-Eddy Simulation (LES) ist ein populäres Verfahren, um turbulente Strömungen, die durch die Navier-Stokes-Gleichungen modelliert werden, zu behandeln. Da eine hohe Gitterauflösung benötigt wird, um die Randbereiche bei hohen Reynolds-Zahlen zu behandeln, wurden hybride Methoden, z.B. Detached-Eddy Simulation (DES) und LES mit Wandfunktionen, entwickelt. Hierbei wird das Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Modell (RANS) in Wandnähe und das LES-Modell in den übrigen Gebieten verwendet. Im LES-Modell werden nur die großen Skalen explizit gelöst, von den kleinen Skalen hingegen wird nur der Effekt auf die großen Skalen modeliert. Die Parameter der Modelle hängen vom Typ der Strömung und den numerischen Schemata ab, wie zum Beispiel die Konstante Cs im Smagorinsky-Modell oder der minimale Wandabstand der Gitterpunkte y(1). Das Identifikationsproblem für inkompressible turbulente Strömungen als ein Optimierungsproblem ist noch ungelöst. Als Alternative wird ein Least-Squares-Fehlerfunktional mit einer Newton-artigen Methode verwendet, um die optimalen Parameter zu finden.Der DLR-THETA-Code ist ein Löser für inkompressible Strömungen auf der Basis eine Projektionsmethode. Da bei der betrachteten Finite-Volumen Methode die Unbekannten in den gleichen Gitterpunkten definiert sind, is eine Druckstabilisierung erforderlich. Das Smagorinsky-Modell und hybride Methode wurden in den DLR-THETA-Code integriert. Drei Benchmark-Probleme mit steigender Komplexität werden in dieser Arbeit betrachtet: das Abklingen homogener isotroper Turbulenz (DHIT), eine Kanalströmung und eine Kanalströmung mit rückspringender Stufe. Zuerst wird das Verhalten der Diskretisierungsschemata anhand einer DHIT-Strömung studiert. Die Modellkonstante Cs wird mithilfe eines Schemas, das die experimentellen Daten gut reproduziert, bestimmt. Als zweites wird eine Kanalströmung mit moderater Reynolds-Zahl Re=395 auf basis des Reibungskoeffizientes und der Kanalhalbweite betrachtet, wobei zusätzlich der Gitter-Parameter y(1) aus den DNS-Daten bestimmt wird. Für das DES-Verfahren auf der Basis des Spalart-Allmaras Modells (SADES) werden wieder DHIT-Strömung und die Kanalströmung mit Re=395 betrachtet. Der Einfluss der Modellkonstante des SADES-Modells wird demonstriert. Als Beispiel für hohe Reynolds-Zahlen wird eine Kanalströmung bei Re=4800 mit zwei hybriden Modellen, nämlich LES und SADES mit Wandfunktionen, betrachtet, d.h. die Wandfunktionen liefern die approximierten Randbedingungen für das LES-Modell. Desweiteren wird eine Modifikation der turbulenten Viskosität betrachtet. Abschließend erhalten wir erste Ergebnisse für die Momentangeschwindigkeit beim Problem mit rückspringender Stufe

Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen

In der vorliegenden Arbeit werden effiziente adaptive Diskretisierungsverfahren zur numerischen Lösung parabolischer Probleme vorgestellt. Hierbei gelingt es erstmalig, aufbauend auf speziellen diskreten Funktionenräumen, den sogenannten Raum-Zeit Dünngitterräumen, parabolische Probleme mit der gleichen Komplexität im Speicher- und Rechenaufwand wie stationäre elliptische Probleme zu lösen. Obwohl wesentlich weniger Freiheitsgrade als bei klassischen parabolischen Diskretisierungsverfahren benötigt werden, erreichen wir mit den vorgestellten Verfahren die (bis auf einen logarithmischen Faktor) gleichen Konvergenzraten wie bei herkömmlichen Diskretisierungen. Hierzu werden lediglich etwas stärkere Glattheitsvoraussetzungen an die Lösung des parabolischen Problems benötigt. Es wird jedoch in dieser Arbeit gezeigt, dass diese Glattheitsvoraussetzungen bei geeigneten Annahmen an das Gebiet, die rechte Seite und die Anfangs- und Randbedingungen für die Lösung parabolischer Probleme erfüllt sind. Ferner stellen wir für den Fall, dass die zu approximierende Funktion nicht genügend glatt ist, eine adaptive Erweiterung des Verfahrens in Raum und Zeit vor. Die resultierenden adaptiven Diskretisierungen weisen in den numerischen Experimenten für Probleme mit nicht glatten Lösungen nahezu die gleiche Effizienz wie die nicht adaptiven Diskretisierungsverfahren für Probleme mit genügend glatten Lösungen auf. Besonders bemerkenswert ist hierbei, dass das vorgestellte adaptive Verfahren automatisch zu lokalen Zeitschritten (local time stepping) führt, deren Umsetzung bei herkömmlichen Diskretisierungen algorithmisch aufwändig ist. Zur effizienten Lösung der bei der Diskretisierung anfallenden linearen Gleichungssysteme werden in dieser Arbeit Multilevellöser in Raum-Zeit entwickelt. Wir untersuchen die Konvergenzeigenschaften der Löser an numerischen Beispielen, die zeigen, dass die Konvergenzraten von der Feinheit der Diskretisierung unabhängig sind. Zum Abschluss verwenden wir die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen zur numerischen Lösung der zu instationären verteilten Kontrollprobleme gehörenden Sattelpunktsprobleme. Während bisherige Arbeiten zur Diskretisierung dieser Sattelpunktsprobleme auf Grund der hohen Zahl an Freiheitsgraden klassischer Diskretisierungsverfahren hierbei lediglich zwei Ortsdimensionen behandeln, sind wir mit den Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der Lage, erstmals auch Probleme in drei Ortsdimensionen zu behandeln. Hierzu erweitern wir die Multilevelöser und die Adaptivität auf die Lösung von Systemen parabolischer Differentialgleichungen. Unterschiedliche numerische Beispiele demonstrieren dabei die Effizienz der adaptiven Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zur Lösung der Sattelpunktsprobleme in bis zu drei Ortsdimensionen