Semi-parametric estimation of shifts

We observe a large number of functions differing from each other only by a translation parameter. While the main pattern is unknown, we propose to estimate the shift parameters using $M$-estimators. Fourier transform enables to transform this statistical problem into a semi-parametric framework. We study the convergence of the estimator and provide its asymptotic behavior. Moreover, we use the method in the applied case of velocity curve forecasting.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.1214/07-EJS026 the Electronic Journal of Statistics (http://www.i-journals.org/ejs/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

Doctor of Philosophy

dissertationThe statistical study of anatomy is one of the primary focuses of medical image analysis. It is well-established that the appropriate mathematical settings for such analyses are Riemannian manifolds and Lie group actions. Statistically defined atlases, in which a mean anatomical image is computed from a collection of static three-dimensional (3D) scans, have become commonplace. Within the past few decades, these efforts, which constitute the field of computational anatomy, have seen great success in enabling quantitative analysis. However, most of the analysis within computational anatomy has focused on collections of static images in population studies. The recent emergence of large-scale longitudinal imaging studies and four-dimensional (4D) imaging technology presents new opportunities for studying dynamic anatomical processes such as motion, growth, and degeneration. In order to make use of this new data, it is imperative that computational anatomy be extended with methods for the statistical analysis of longitudinal and dynamic medical imaging. In this dissertation, the deformable template framework is used for the development of 4D statistical shape analysis, with applications in motion analysis for individualized medicine and the study of growth and disease progression. A new method for estimating organ motion directly from raw imaging data is introduced and tested extensively. Polynomial regression, the staple of curve regression in Euclidean spaces, is extended to the setting of Riemannian manifolds. This polynomial regression framework enables rigorous statistical analysis of longitudinal imaging data. Finally, a new diffeomorphic model of irrotational shape change is presented. This new model presents striking practical advantages over standard diffeomorphic methods, while the study of this new space promises to illuminate aspects of the structure of the diffeomorphism group

Régression sur variable fonctionnelle: Estimation, Tests de structure et Applications

Au cours des dernières années, la branche de la statistique consacrée à l'étude de variables fonctionnelles a connu un réel essor tant en terme de développements théoriques que de diversification des domaines d'application. Nous nous intéressons plus particulièrement dans ce mémoire à des modèles de régression dans lesquels la variable réponse est réelle tandis que la variable explicative est fonctionnelle, c'est à dire à valeurs dans un espace de dimension infinie. Les résultats que nous énonçons sont liés aux propriétés asymptotiques de l'estimateur à noyau généralisé au cas d'une variable explicative fonctionnelle. Nous supposons pour commencer que l'échantillon que nous étudions est constitué de variables alpha-mélangeantes et que le modèle de régression est de nature non-paramétrique. Nous établissons la normalité asymptotique de notre estimateur et donnons l'expression explicite des termes asymptotiquement dominants du biais et de la variance. Une conséquence directe de ce résultat est la construction d'intervalles de confiance asymptotiques ponctuels dont nous étudions les propriétés aux travers de simulations et que nous appliquons sur des données liées à l'étude du courant marin El Niño. On établit également à partir du résultat de normalité asymptotique et d'un résultat d'uniforme intégrabilité l'expression explicite des termes asymptotiquement dominants des moments centrés et des erreurs Lp de notre estimateur. Nous considérons ensuite le problème des tests de structure en régression sur variable fonctionnelle et supposons maintenant que l'échantillon est composé de variables indépendantes. Nous construisons une statistique de test basée sur la comparaison de l'estimateur à noyau et d'un estimateur plus particulier dépendant de l'hypothèse nulle à tester. Nous obtenons la normalité asymptotique de notre statistique de test sous l'hypothèse nulle ainsi que sa divergence sous l'alternative. Les conditions générales sous lesquelles notre résultat est établi permettent l'utilisation de notre statistique pour construire des tests de structure innovants permettant de tester si l'opérateur de régression est de forme linéaire, à indice simple, ... Différentes procédures de rééchantillonnage sont proposées et comparées au travers de diverses simulations. Nos méthodes sont enfin appliquées dans le cadre de tests de non effet à deux jeux de données spectrométriques.Functional data analysis is a typical issue in modern statistics. During the last years, many papers have been devoted to theoretical results or applied studies on models involving functional data. In this manuscript, we focus on regression models where a real response variable depends on a functional random variable taking its values in an infinite dimensional space. We state various kinds of results linked with the asymptotic properties of the nonparametric kernel estimator generalized to the case of a functional explanatory variable. We firstly assume that the dataset under study is composed of strong-mixing variables and focus on a nonparametric regression model. A first result gives asymptotic normality of the kernel estimator with explicit expressions of the asymptotic dominant bias and variance terms. On one hand, we propose from this result a way to construct asymptotic pointwise confidence bands and study their properties on simulation studies and apply our method on a dataset dealing with El Niño phenomenon. On the other hand, we decline from both asymptotical normality and uniform integrability results the explicit expressions of the asymptotic dominant terms of centered moments and Lp errors of the kernel estimator. We now assume that the dataset is composed of independent random variables and focus on structural testing procedures in regression on functional data. We construct a test statistic based on the comparison between the nonparametric kernel estimator and a particular one that must be chosen in accordance to the null hypothesis we want to test. We then state both asymptotic normality of our test statistic under the null hypothesis and its divergence under the alternative. Moreover, we prove our result under general conditions that enable to use our approach to construct innovative structural tests allowing to check if the regression operator is linear, single index, ... Different bootstrap procedures are proposed and compared through various simulation studies. Finally, we focus on no effect tests and apply our testing procedures on two spectrometric datasets