57 research outputs found
A 2-Approximation for the Height of Maximal Outerplanar Graph Drawings
In this thesis, we study drawings of maximal outerplanar graphs that place vertices on integer coordinates. We introduce a new class of graphs, called umbrellas, and a new method of splitting maximal outerplanar graphs into systems of umbrellas. By doing so, we generate a new graph parameter, called the umbrella depth (ud), that can be used to approximate the optimal height of a drawing of a maximal outerplanar graph. We show that for any maximal outerplanar graph G, we can create a flat visibility representation of G with height at most 2ud(G) + 1. This drawing can be transformed into a straight-line drawing of the same height. We then prove that the height of any drawing of G is at least ud(G) + 1, which makes our result a 2-approximation for the optimal height. The best previously known approximation algorithm gave a 4-approximation. In addition, we provide an algorithm for finding the umbrella depth of G in linear time. Lastly, we compare the umbrella depth to other graph parameters such as the pathwidth and the rooted pathwidth, which have been used in the past for outerplanar graph drawing algorithms
Transforming planar graph drawings while maintaining height
There are numerous styles of planar graph drawings, notably straight-line
drawings, poly-line drawings, orthogonal graph drawings and visibility
representations. In this note, we show that many of these drawings can be
transformed from one style to another without changing the height of the
drawing. We then give some applications of these transformations
Tree-width and dimension
Over the last 30 years, researchers have investigated connections between
dimension for posets and planarity for graphs. Here we extend this line of
research to the structural graph theory parameter tree-width by proving that
the dimension of a finite poset is bounded in terms of its height and the
tree-width of its cover graph.Comment: Updates on solutions of problems and on bibliograph
B-VPG Representation of AT-free Outerplanar Graphs
B-VPG graphs are intersection graphs of axis-parallel line segments in
the plane. In this paper, we show that all AT-free outerplanar graphs are
B-VPG. We first prove that every AT-free outerplanar graph is an induced
subgraph of a biconnected outerpath (biconnected outerplanar graphs whose weak
dual is a path) and then we design a B-VPG drawing procedure for
biconnected outerpaths. Our proofs are constructive and give a polynomial time
B-VPG drawing algorithm for the class.
We also characterize all subgraphs of biconnected outerpaths and name this
graph class "linear outerplanar". This class is a proper superclass of AT-free
outerplanar graphs and a proper subclass of outerplanar graphs with pathwidth
at most 2. It turns out that every graph in this class can be realized both as
an induced subgraph and as a spanning subgraph of (different) biconnected
outerpaths.Comment: A preliminary version, which did not contain the characterization of
linear outerplanar graphs (Section 3), was presented in the
International Conference on Algorithms and Discrete Applied Mathematics
(CALDAM) 2022. The definition of linear outerplanar graphs in this paper
differs from that in the preliminary version and hence Section 4 is ne
Improved Approximation Algorithms for Box Contact Representations ⋆
Abstract. We study the following geometric representation problem: Given a graph whose vertices correspond to axis-aligned rectangles with fixed dimensions, arrange the rectangles without overlaps in the plane such that two rectangles touch if the graph contains an edge between them. This problem is called CONTACT REPRESENTATION OF WORD NETWORKS (CROWN) since it formalizes the geometric problem behind drawing word clouds in which semantically related words are close to each other. CROWN is known to be NP-hard, and there are approximation algorithms for certain graph classes for the optimization version, MAX-CROWN, in which realizing each desired adjacency yields a certain profit. We present the first O(1)-approximation algorithm for the general case, when the input is a complete weighted graph, and for the bipartite case. Since the subgraph of realized adjacencies is necessarily planar, we also consider several planar graph classes (namely stars, trees, outerplanar, and planar graphs), improving upon the known results. For some graph classes, we also describe improvements in the unweighted case, where each adjacency yields the same profit. Finally, we show that the problem is APX-hard on bipartite graphs of bounded maximum degree.
Algorithms for drawing planar graphs
Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt
om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave
kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt
vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een
schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze
rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur
van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links
in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te
voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar
zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle
onderlinge relaties direct blijken.
Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde
schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan
de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later
reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec-
trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel
van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat
tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet
duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een
aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde
worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen
genoemd en de verbindingen lijnen.
Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren
van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be-
trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van
een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een
\mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan
een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf,
maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet
een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk
criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het
geval is dan wordt de graaf planair genoemd.
We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van
223?224 SAMENVATTING
planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele
getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke
criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de
volgende:
Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen
van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven).
Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie
\mooi" kan worden weergegeven.
Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten.
Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande
verbindingen van een knoop.
Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen.
De interne gebieden moeten convex getekend worden.
Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds
gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf.
Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen:
Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een
uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf-
gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen.
Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat
een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen-
hangend als na het weglaten van
Area-Efficient Drawings of Outer-1-Planar Graphs
We study area-efficient drawings of planar graphs: embeddings of graphs on an integer grid so that the bounding box of the drawing is minimized. Our focus is on the class of outer-1-planar graphs: the family of planar graphs that can be drawn on the plane with all vertices on the outer-face so that each edge is crossed at most once. We first present two straight-line drawing algorithms that yield small-area straight-line drawings for the subclass of complete outer-1-planar graphs. Further, we give an algorithm that produces an orthogonal drawing of any outer-1-plane graph in O(n log n) area while keeping the number of bends per edge relatively small
- …