Advances in D-bar methods for partial boundary data electrical impedance tomography : From continuum to electrode models and back

Abstract

Electrical impedance tomography (EIT) is a rather new approach to medical imaging that is motivated by using electricity to determine the inside of a body. The clear advantage lies in the usage of harmless electric currents, in contrast to the ionizing radiation of X-rays, whereas the mathematical problem is inherently more challenging. In EIT we seek to reconstruct an image of the inner organs by determining their conductivity, i.e. how well electricity is conducted. As a medical imaging modality it is most promising in pulmonary and cardiac imaging, due to considerably different conductivity values in the air filled lungs (low conductive) and the blood filled heart (high conductive). EIT is in principle capable of monitoring the respiratory process, detecting pathologies in the lungs, and monitoring the heart activity. The main focus of this work is on the partial-boundary problem in EIT, that means one has only access to a certain part of the boundary and data can only be collected there. In a hospital setting these situations can arise when monitoring a critical or unconscious patient and hence one can only access the front of the torso (ventral position). Furthermore, practical complications can arise due to faulty, dislocated, or dispatched electrodes and hence leading to incomplete data. The methods presented in this thesis are capable of dealing with such incomplete data. Following the tradition of mathematical research we are also interested in quantifying the error incomplete data introduces to the reconstruction. In a short summary, this thesis investigates how to improve EIT reconstructions from partial-boundary data by utilizing concepts from an ideal mathematical setting as well as how to apply these methods to real electrode models and measurement data.Sähköinen impedanssitomografia (engl. electrical impedance tomography, lyh. EIT) on kohtalaisen uusi lääketieteellisen kuvantamisen muoto, jossa potilaan sisälle pyritään näkemään heikon sähkövirran avulla. Verrattuna ionisoivaan säteilyyn, kuten röntgensäteilyyn, EIT-kuvantaminen on potilaalle vähemmän haitallista. Kääntöpuolena on tähän kuvantamismuotoon liittyvän matematiikan haastavuus. EIT-kuvantamisessa tavoitteena on tutkia potilaan sisäelimiä selvittämällä niiden sähkönjohtavuus, eli se kuinka hyvin sisäelimet johtavat sähköä. Lääketieteellisen kuvantamisen muodoista se soveltuu erityisen hyvin sydämen ja keuhkojen kuvantamiseen. Tämä johtuu siitä, että sisään hengittäessä keuhkoissa on paljon ilmaa ja toisaalta sydämessä paljon verta. Siksi keuhkojen sähkönjohtavuus on huomattavasti sydäntä pienempi. EIT:llä voidaan tarkkailla potilaan hengitystä, keuhkojen fyysisiä vikoja sekä sydämen aktiivisuutta. Tämän työn pääteemana on EIT-kuvantamisen osittaiset reuna-arvo-ongelmat. Tämä tarkoittaa sitä, että mittauksia tehdään vain osassa mitattavan kappaleen ulkopintaa. Sairaalaolosuhteissa eräs esimerkki tällaisesta mittaustilanteesta on kriittisessä tai tajuttomassa tilassa olevan potilaan tutkiminen, jolloin mittaavia elektroneita voidaan asentaa potilaalle ainoastaan rinnan alueelle. Tämän lisäksi EIT-mittauksessa puutteellista mittausdataa saattavat aiheuttaa käytännön mittausvirheet, jotka voivat johtua viallisista, väärin asennetutuista tai väärässä paikassa olevista elektroneista. Tässä työssä esitetyt menetelmät tarjoavat matemaattisia sekä käytännön mittaustilanteissa tarvittavia keinoja edellä kuvattujen ongelmien ratkaisemiseksi. Matemaattista traditiota noudattaen olemme myös kiinnostuneita kvantifioimaan puutteellisen datan avulla tehtyjen rekonstruktioiden virheellisyyttä. Tiivistäen, tässä työssä tutkitaan kuinka parantaa EIT-kuvantamisen avulla tehtyjä rekonstruktioita, kun vaillinaiset mittaukset on tehty vain osassa kappaleen ulkopintaa. Ratkaisemme matemaattisen ongelman ja sovellamme tämän ongelman ratkaisua todellisen maailman mittausongelmiin