A computer algebra approach to rational general solutions of algebraic ordinary differential equations

In this thesis, I approach to algebraic ODEs from Differential Algebra's point of view. I look for rational solutions of AODE, I present an algebro-geometric method to decide the existence of rational solutions of a first-order algebraic ODE and if they exist an algorithm to compute them. This method depends heavily on rational parametrizations, in particular for autonomous equations on the parametrization of algebraic curves, and for non-autonomous equations on the parametrization of algebraic surfaces. In the last case, I prove the correspondence between rational solutions of a parametrizable algebraic ODE and rational solutions of a first-order linear autonomous differential system of two equations in two variables. I provide an algorithm to compute rational solutions of such system based on its invariant algebraic curves. I also study a group of affine transformations which preserves the rational solvability, in order to reduce, when possible, an algebraic ODE to an easier one. Moreover I present the results of the implementation of all these algorithms in two computer algebra system: CoCoA and Singular

Estudio y cálculo de la regularidad de castelnuovo-mumford y otros invariantes de álgebras graduadas de dimensión dos.

Sea $I$ un ideal homogéneo del anillo de polinomios $R = K[x_1,\ldots,x_n]$ sobre un cuerpo $K$, uno de los conocimientos más profundos que se puede tener del anillo cociente $R/I$, y por tanto de $I$, es el de su resolución libre minimal graduada. Desafortunadamente hay muy pocos casos en los que se conoce una descripción explícita de esta resolución y aunque existen métodos efectivos para su cálculo, en términos prácticos es inabordable incluso en pequeños ejemplos. Es por este motivo que muchos autores han concentrado esfuerzos en la obtención de información parcial de la resolución sin pasar por un cálculo explícito de la misma. Este conocimiento parcial de la resolución, además de aportar información relevante del anillo $R/I$, puede ayudar posteriormente a agilizar el cálculo de la resolución. Un ejemplo es el de la regularidad de Castelnuovo-Mumford, que aporta una cota superior sobre los grados de las sicigias y, por ende, su conocimiento a priori evita cálculos innecesarios de sicigias de alto grado. En esta línea de investigación se encuadra el trabajo de Bayer y Stillman, así como los posteriores de Bermejo y Gimenez. Estos trabajos tratan el cálculo de invariantes cohomológicos de ideales homogéneos en el anillo de polinomios, haciendo especial hincapié en el cálculo de la regularidad de Castelnuovo-Mumford. La herramienta común a los mismos es la utilización de las buenas propiedades de la base de Gröbner de un ideal homogéneo respecto del orden monomial lexicográfico inverso graduado. Esta Tesis se enmarca en el mismo ámbito que los trabajos ya citados y entre las aportaciones que realiza caben destacar: 1.- La aplicación de los resultados de Bermejo-Gimenez para el estudio de ciertos anillos de coordenadas de curvas proyectivas. Calculamos invariantes cohomológicos tales como la serie, la función y el polinomio de Hilbert, la dimensión proyectiva y la regularidad de Castelnuovo-Mumford para ciertas familias de anillos coordenados de curvas monomiales proyectivas. Asimismo, somos capaces de caracterizar cuándo son Cohen-Macaulay y calcular su tipo Cohen-Macaulay cuando lo son, cuándo son Gorenstein, intersección completa y Koszul. Como paso intermedio para obtener estos resultados, se estudia la base de Gröbner del ideal de definición de la curva monomial correspondiente con respecto al orden lexicográfico inverso graduado. 2.- La generalización de resultados a ideales homogéneos respecto a un vector de pesos. Una generalización natural de los ideales homogéneos son los ideales $\omega$-homogéneos u homogéneos respecto a un vector de pesos $\omega \in (\Z^+)^n$. Los ideales $\omega$-homogéneos y sus respectivos anillos graduados cociente son el objeto principal de estudio de esta Tesis. Para estos ideales y anillos obtenemos versiones análogas de los resultados conocidos para los ideales homogéneos usuales. De forma natural, la herramienta utilizada para generalizar los resultados es el estudio de las buenas propiedades de las bases de Gröbner respecto del orden lexicográfico graduado respecto del correspondiente vector de pesos $\omega$. 3.- La profundización en el entendimiento de las buenas propiedades de las bases de Gröbner respecto del orden lexicográfico inverso de un ideal homogéneo respecto de un vector de pesos. Sea $A$ una normalización de Noether de $R/I$, demostramos cómo a partir de la base de Gröbner de $I$ con respecto al orden lexicográfico inverso graduado, se puede obtener información interesante de la resolución libre minimal graduada de $R/I$ como $A$-módulo, que llamaremos resolución de Noether. En algunos casos que incluyen cuando $R/I$ es Cohen-Macaulay o tiene dimensión de Krull a lo sumo $2$, veremos cómo a partir de esta base de Gröbner se puede describir enteramente su resolución de Noether. Dado que la resolución de Noether está íntimamente ligada con la resolución usual como $R$-módulo, los resultados en esta línea aportan un entendimiento más profundo de algunos resultados de Bayer-Stillman y de Bermejo-Gimenez