Linear independence of powers of singular moduli of degree 3

We show that two distinct singular moduli $j(\tau),j(\tau')$, such that for some positive integers $m, n$ the numbers $1,j(\tau)^m$ and $j(\tau')^n$ are linearly dependent over $\mathbb{Q}$ generate the same number field of degree at most $2$. This completes a result of Riffaut, who proved the above theorem except for two explicit pair of exceptions consisting of numbers of degree $3$. The purpose of this article is to treat these two remaining cases

Entre les lignes

This article is based on an investigation of regular swimmers in a Parisian pool. Firstly, it describes the method of the survey in a field of work where the researcher is also an actor. It shows how long-term and deep-rooted participation, as well as the daily sharing of the swimming activity, are two main assets of this « field work at home ». Secondly, this article focuses on the connection between swimmers and water as an object. Swimmers sought out water that was associated with a strong supportive imagery and with feelings of well-being, portage and inclusion. Finally, this article explores what motivates swimmers to practice their activity, which is often focused on a need to compensate for a physical problem or an existential issue.  Cet article est basé sur une enquête menée auprès de nageurs réguliers d’une piscine parisienne. Il décrit, dans un premier temps, les modalités d’inscription du chercheur sur un terrain dans lequel il est lui-même acteur. Il montre comment l’ancrage dans la durée et le partage quotidien de l’activité étudiée constituent deux atouts privilégiés de ce « terrain chez soi ». Il s’intéresse, dans un second temps, au rapport des nageurs à l’eau en tant que matière. Une eau associée à un imaginaire hautement porteur de sens et à des sensations de bien-être, de portage ou d’enveloppement, recherchés des nageurs. Il explore enfin les motivations des nageurs à pratiquer leur activité. Lesquelles sont souvent centrées autour d’un besoin de compenser un problème physique ou une difficulté existentielle. &nbsp

Helping yourself by helping others : Volunteering : A space of self-construction and personal fulfillment

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Effective computation of special points

À partir du théorème d’André en 1998, qui est la première contribution non triviale à la conjecture de André-Oort sur les sous-variétés spéciales des variétés de Shimura, la principale problématique de cette thèse est d’étudier les propriétés diophantiennes des modules singuliers, en caractérisant les points de multiplication complexe (x; y) satisfaisant un type d’équation donné de la forme F(x; y) = 0, pour un polynôme irréductible F(X; Y ) à coefficients complexes. Plus spécifiquement, nous traitons deux équations impliquant des puissances de modules singuliers. D’une part, nous montrons que deux modules singuliers x; y tels que les nombres 1, xm et yn soient linéairement dépendants sur Q, pour des entiers strictement positifs m; n, doivent être de degré au plus 2, ce qui généralise un résultat d’Allombert, Bilu et Pizarro-Madariaga, qui ont étudié les points de multiplication complexe appartenant aux droites de C2 définies sur Q. D’autre part, nous montrons que, sauf cas “évidents”, le produit de n’importe quelles puissances entières de deux modules singuliers ne peut être un nombre rationnel non nul, ce qui généralise un résultat de Bilu, Luca et Pizarro- Madariaga, qui ont ont étudié les points de multiplication complexe appartenant aux hyperboles xy = A, où A 2 Qx. Les méthodes que nous développons reposent en grande partie sur les propriétés des corps de classes engendrés par les modules singuliers, les estimations de la fonction j-invariant et les estimations des formes linéaires logarithmiques. Nous déterminons également les corps engendrés par les sommes et les produits de deux modules singuliers x et y : nous montrons que le corps Q(x; y) est engendré par la somme x + y, à moins que x et y soient conjugués sur Q, auquel cas x + y engendre un sous-corps de degré au plus 2 ; le même résultat demeure pour le produit xy. Nos preuves sont assistées par le logiciel PARI/GP, que nous utilisons pour procéder à des vérifications dans des cas particuliers explicites.Starting for André’s Theorem in 1998, which is the first non-trivial contribution to the celebrated André-Oort conjecture on the special subvarieties of Shimura varieties, the main purpose of this thesis is to study Diophantine properties of singular moduli, by characterizing CM-points (x; y) satisfying a given type of equation of the form F(x; y) = 0, for an irreducible polynomial F(X; Y ) with complex coefficients. More specifically, we treat two different equations involving powers of singular moduli. On the one hand, we show that two distinct singular moduli x; y such that the numbers 1, xm and yn are linearly dependent over Q, for some positive integers m; n, must be of degree at most 2. This partially generalizes a result of Allombert, Bilu and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to straight lines in C2 defined over Q. On the other hand, we show that, with “obvious” exceptions, the product of any two powers of singular moduli cannot be a non-zero rational number. This generalizes a result of Bilu, Luca and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to hyperbolas xy = A, where A 2 Qx. The methods we develop lie mainly on the properties of ring class fields generated by singular moduli, on estimations of the j-function and on estimations of linear forms in logarithms. We also determine fields generated by sums and products of two singular moduli x and y : we show that the field Q(x; y) is generated by the sum x + y, unless x and y are conjugate over Q, in which case x + y generate a subfield of degree at most 2 ; the same holds for the product xy. Our proofs are assisted by the PARI/GP package, which we use to proceed to verifications in particular explicit cases

Fields generated by sums and products of singular moduli

We show that the field $\mathbb{Q}(x,y)$, generated by two singular moduli~$x$ and~$y$, is generated by their sum ${x+y}$, unless~$x$ and~$y$ are conjugate over~$\mathbb{Q}$, in which case ${x+y}$ generates a subfield of degree at most~$2$. We obtain a similar result for the product of two singular moduli.Comment: Acknowledgment

Calcul effectif de points spéciaux

Starting for André’s Theorem in 1998, which is the first non-trivial contribution to the celebrated André-Oort conjecture on the special subvarieties of Shimura varieties, the main purpose of this thesis is to study Diophantine properties of singular moduli, by characterizing CM-points (x; y) satisfying a given type of equation of the form F(x; y) = 0, for an irreducible polynomial F(X; Y ) with complex coefficients. More specifically, we treat two different equations involving powers of singular moduli. On the one hand, we show that two distinct singular moduli x; y such that the numbers 1, xm and yn are linearly dependent over Q, for some positive integers m; n, must be of degree at most 2. This partially generalizes a result of Allombert, Bilu and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to straight lines in C2 defined over Q. On the other hand, we show that, with “obvious” exceptions, the product of any two powers of singular moduli cannot be a non-zero rational number. This generalizes a result of Bilu, Luca and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to hyperbolas xy = A, where A 2 Qx. The methods we develop lie mainly on the properties of ring class fields generated by singular moduli, on estimations of the j-function and on estimations of linear forms in logarithms. We also determine fields generated by sums and products of two singular moduli x and y : we show that the field Q(x; y) is generated by the sum x + y, unless x and y are conjugate over Q, in which case x + y generate a subfield of degree at most 2 ; the same holds for the product xy. Our proofs are assisted by the PARI/GP package, which we use to proceed to verifications in particular explicit cases.À partir du théorème d’André en 1998, qui est la première contribution non triviale à la conjecture de André-Oort sur les sous-variétés spéciales des variétés de Shimura, la principale problématique de cette thèse est d’étudier les propriétés diophantiennes des modules singuliers, en caractérisant les points de multiplication complexe (x; y) satisfaisant un type d’équation donné de la forme F(x; y) = 0, pour un polynôme irréductible F(X; Y ) à coefficients complexes. Plus spécifiquement, nous traitons deux équations impliquant des puissances de modules singuliers. D’une part, nous montrons que deux modules singuliers x; y tels que les nombres 1, xm et yn soient linéairement dépendants sur Q, pour des entiers strictement positifs m; n, doivent être de degré au plus 2, ce qui généralise un résultat d’Allombert, Bilu et Pizarro-Madariaga, qui ont étudié les points de multiplication complexe appartenant aux droites de C2 définies sur Q. D’autre part, nous montrons que, sauf cas “évidents”, le produit de n’importe quelles puissances entières de deux modules singuliers ne peut être un nombre rationnel non nul, ce qui généralise un résultat de Bilu, Luca et Pizarro- Madariaga, qui ont ont étudié les points de multiplication complexe appartenant aux hyperboles xy = A, où A 2 Qx. Les méthodes que nous développons reposent en grande partie sur les propriétés des corps de classes engendrés par les modules singuliers, les estimations de la fonction j-invariant et les estimations des formes linéaires logarithmiques. Nous déterminons également les corps engendrés par les sommes et les produits de deux modules singuliers x et y : nous montrons que le corps Q(x; y) est engendré par la somme x + y, à moins que x et y soient conjugués sur Q, auquel cas x + y engendre un sous-corps de degré au plus 2 ; le même résultat demeure pour le produit xy. Nos preuves sont assistées par le logiciel PARI/GP, que nous utilisons pour procéder à des vérifications dans des cas particuliers explicites

Equations with powers of singular moduli

We treat two different equations involving powers of singular moduli. On the one hand, we show that, with two possible (explicitly specified) exceptions, two distinct singular moduli j(τ), j(τ ′) such that the numbers 1, j(τ) m and j(τ ′) n are linearly dependent over Q for some positive integers m, n, must be of degree at most 2. This partially generalizes a result of Allombert, Bilu and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to straight lines in C 2 defined over Q. On the other hand, we show that, with " obvious " exceptions, the product of any two powers of singular moduli cannot be a non-zero rational number. This generalizes a result of Bilu, Luca and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to an hyperbola xy = A, where A ∈ Q

Louis Napoléon Président de la République française : [estampe]

Référence bibliographique : De Vinck, 15468Appartient à l’ensemble documentaire : Est19Vinc

Effective computation of special points

À partir du théorème d’André en 1998, qui est la première contribution non triviale à la conjecture de André-Oort sur les sous-variétés spéciales des variétés de Shimura, la principale problématique de cette thèse est d’étudier les propriétés diophantiennes des modules singuliers, en caractérisant les points de multiplication complexe (x; y) satisfaisant un type d’équation donné de la forme F(x; y) = 0, pour un polynôme irréductible F(X; Y ) à coefficients complexes. Plus spécifiquement, nous traitons deux équations impliquant des puissances de modules singuliers. D’une part, nous montrons que deux modules singuliers x; y tels que les nombres 1, xm et yn soient linéairement dépendants sur Q, pour des entiers strictement positifs m; n, doivent être de degré au plus 2, ce qui généralise un résultat d’Allombert, Bilu et Pizarro-Madariaga, qui ont étudié les points de multiplication complexe appartenant aux droites de C2 définies sur Q. D’autre part, nous montrons que, sauf cas “évidents”, le produit de n’importe quelles puissances entières de deux modules singuliers ne peut être un nombre rationnel non nul, ce qui généralise un résultat de Bilu, Luca et Pizarro- Madariaga, qui ont ont étudié les points de multiplication complexe appartenant aux hyperboles xy = A, où A 2 Qx. Les méthodes que nous développons reposent en grande partie sur les propriétés des corps de classes engendrés par les modules singuliers, les estimations de la fonction j-invariant et les estimations des formes linéaires logarithmiques. Nous déterminons également les corps engendrés par les sommes et les produits de deux modules singuliers x et y : nous montrons que le corps Q(x; y) est engendré par la somme x + y, à moins que x et y soient conjugués sur Q, auquel cas x + y engendre un sous-corps de degré au plus 2 ; le même résultat demeure pour le produit xy. Nos preuves sont assistées par le logiciel PARI/GP, que nous utilisons pour procéder à des vérifications dans des cas particuliers explicites.Starting for André’s Theorem in 1998, which is the first non-trivial contribution to the celebrated André-Oort conjecture on the special subvarieties of Shimura varieties, the main purpose of this thesis is to study Diophantine properties of singular moduli, by characterizing CM-points (x; y) satisfying a given type of equation of the form F(x; y) = 0, for an irreducible polynomial F(X; Y ) with complex coefficients. More specifically, we treat two different equations involving powers of singular moduli. On the one hand, we show that two distinct singular moduli x; y such that the numbers 1, xm and yn are linearly dependent over Q, for some positive integers m; n, must be of degree at most 2. This partially generalizes a result of Allombert, Bilu and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to straight lines in C2 defined over Q. On the other hand, we show that, with “obvious” exceptions, the product of any two powers of singular moduli cannot be a non-zero rational number. This generalizes a result of Bilu, Luca and Pizarro-Madariaga, who studied CM-points belonging to hyperbolas xy = A, where A 2 Qx. The methods we develop lie mainly on the properties of ring class fields generated by singular moduli, on estimations of the j-function and on estimations of linear forms in logarithms. We also determine fields generated by sums and products of two singular moduli x and y : we show that the field Q(x; y) is generated by the sum x + y, unless x and y are conjugate over Q, in which case x + y generate a subfield of degree at most 2 ; the same holds for the product xy. Our proofs are assisted by the PARI/GP package, which we use to proceed to verifications in particular explicit cases