Stability for retarded functional differential equations

It is known that retarded functional differential equations can be regarded as Banach-space-valued generalized ordinary differential equations (GODEs). In this paper, some stability concepts for retarded functional differential equations are introduced and they are discussed using known stability results for GODEs. Then the equivalence of the different concepts of stabilities considered here are proved and converse Lyapunov theorems for a very wide class of retarded functional differential equations are obtained by means of the correspondence of this class of equations with GODEs.Відомо, що функціональні диференціальні рівняння із запізненням можна розглядати як узагальнені звичайні диференціальні рівняння (УЗДР) зі значеннями у банаховому просторі. У статті введено деякі концепції стабільності для функціональних диференціальних рівнянь із запізненням, а також обговорено ці концепції з використанням відомих результатів щодо стабільності УЗДР. Доведено еквівалентність різних концепцій стабільності, що розглянуті у даній роботі. Для дуже широкого класу функціональних диференціальних рівнянь із запізненням одержано зворотні теореми Ляпунова на основі того факту, що цей клас рівнянь відповідає УЗДР

Substitution formulas for the Kurzweil and Henstock vector integrals

summary:Results on integration by parts and integration by substitution for the variational integral of Henstock are well-known. When real-valued functions are considered, such results also hold for the Generalized Riemann Integral defined by Kurzweil since, in this case, the integrals of Kurzweil and Henstock coincide. However, in a Banach-space valued context, the Kurzweil integral properly contains that of Henstock. In the present paper, we consider abstract vector integrals of Kurzweil and prove Substitution Formulas by functional analytic methods. In general, Substitution Formulas need not hold for Kurzweil vector integrals even if they are defined

Linear Volterra-Stieltjes integral equations in the sense of the Kurzweil-Henstock integral

summary:In 1990, Hönig proved that the linear Volterra integral equation $$x\left( t\right) -\,(K)\int \nolimits _{\left[ a,t\right] }\alpha \left( t,s\right) x\left( s\right)\,ds=f\left( t\right)\,,\qquad t\in \left[ a,b\right]\,,$$ where the functions are Banach space-valued and $f$ is a Kurzweil integrable function defined on a compact interval $\left[ a,b\right]$ of the real line $\mathbb R$, admits one and only one solution in the space of the Kurzweil integrable functions with resolvent given by the Neumann series. In the present paper, we extend Hönig’s result to the linear Volterra-Stieltjes integral equation $$x\left( t\right) - (K)\int \nolimits _{\left[ a,t\right] }\alpha \left( t,s\right) x\left( s\right) dg\left( s\right) =f\left( t\right) ,\qquad t\in \left[ a,b\right]\,,$$ in a real-valued context

Limit sets and the Poincare-Bendixson Theorem in impulsive semidynamical systems

We consider semidynamical systems with impulse effects at variable times and we discuss some properties of the limit sets of orbits of these systems such as invariancy, compactness and connectedness. As a consequence we obtain a version of the Poincare-Bendixson Theorem for impulsive semidynamical systems. (C) 2008 Elsevier Inc. All rights reserved