3 research outputs found
The systolic constant of orientable Bieberbach 3-manifolds
A compact manifold is called Bieberbach if it carries a flat Riemannian
metric. Bieberbach manifolds are aspherical, therefore the supremum of their
systolic ratio, over the set of Riemannian metrics, is finite by a fundamental
result of M. Gromov.
We study the optimal systolic ratio of compact of -dimensional orientable
Bieberbach manifolds which are not tori, and prove that it cannot be realized
by a flat metric. We also highlight a metric that we construct on one type of
such manifolds () which has interesting geometric properties : it is
extremal in its conformal class and the systole is realized by "very many"
geodesics.Comment: 18 pages, 3 figure
Constante systolique et variétés plates
In this thesis we study the systolic geometry of Bieberbach manifolds. The \emph{systole} of a compact non simply connected Riemannian manifold is the smallest length of a non-contractible closed curve; the \emph{systolic ratio} is the quotient . M. Gromov proved that if is essential, there exists a positive constant such that for any metric on we have: . All compact surfaces (except ) are essential, and the theorem of Gromov is a generalisation of the same results for the torus (C. Loewner), for the projective plane (M. Pu) and for the Klein bottle (C. Bavard). The constant is well known in the case of these manifolds, but in higher dimension we don't have much information. We study the optimal systolic ratio of -dimensional Bieberbach manifolds that are not homeomorphic to a torus, and prove that it cannot be realized by a flat metric.Dans cette thèse on étudie la géométrie systolique des variétés de Bieberbach. La \emph{systole} d'une variété riemannienne compacte et non simplement connexe est l'infimum des longueurs des courbes fermées non contractiles; le \emph{rapport systolique} est le quotient . Un résultat fondamental de Gromov assure que si est essentielle, il existe une constante strictement positive telle que, pour toute métrique sur : . Les surfaces compactes autres que sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétés la constante est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est à dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique