Constante systolique et variétés plates

Abstract

In this thesis we study the systolic geometry of Bieberbach manifolds. The \emph{systole} of a compact non simply connected Riemannian manifold $(M^n,g)$ is the smallest length of a non-contractible closed curve; the \emph{systolic ratio} is the quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. M. Gromov proved that if $M^n$ is essential, there exists a positive constant $c(M)$ such that for any metric $g$ on $M^n$ we have: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. All compact surfaces (except $S^2$) are essential, and the theorem of Gromov is a generalisation of the same results for the torus $T^2$ (C. Loewner), for the projective plane (M. Pu) and for the Klein bottle (C. Bavard). The constant $c(M)$ is well known in the case of these manifolds, but in higher dimension we don't have much information. We study the optimal systolic ratio of $3$-dimensional Bieberbach manifolds that are not homeomorphic to a torus, and prove that it cannot be realized by a flat metric.Dans cette thèse on étudie la géométrie systolique des variétés de Bieberbach. La \emph{systole} d'une variété riemannienne compacte et non simplement connexe $(M^n,g)$ est l'infimum des longueurs des courbes fermées non contractiles; le \emph{rapport systolique} est le quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. Un résultat fondamental de Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M^n$: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. Les surfaces compactes autres que $S^2$ sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T^2$ (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétés la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est à dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique