Fusion multiplicities as polytope volumes: N-point and higher-genus su(2) fusion

We present the first polytope volume formulas for the multiplicities of affine fusion, the fusion in Wess-Zumino-Witten conformal field theories, for example. Thus, we characterise fusion multiplicities as discretised volumes of certain convex polytopes, and write them explicitly as multiple sums measuring those volumes. We focus on su(2), but discuss higher-point (N>3) and higher-genus fusion in a general way. The method follows that of our previous work on tensor product multiplicities, and so is based on the concepts of generalised Berenstein-Zelevinsky diagrams, and virtual couplings. As a by-product, we also determine necessary and sufficient conditions for non-vanishing higher-point fusion multiplicities. In the limit of large level, these inequalities reduce to very simple non-vanishing conditions for the corresponding tensor product multiplicities. Finally, we find the minimum level at which the higher-point fusion and tensor product multiplicities coincide.Comment: 14 pages, LaTeX, version to be publishe

Generating-function method for tensor products

This is the first of two articles devoted to a exposition of the generating-function method for computing fusion rules in affine Lie algebras. The present paper is entirely devoted to the study of the tensor-product (infinite-level) limit of fusions rules. We start by reviewing Sharp's character method. An alternative approach to the construction of tensor-product generating functions is then presented which overcomes most of the technical difficulties associated with the character method. It is based on the reformulation of the problem of calculating tensor products in terms of the solution of a set of linear and homogeneous Diophantine equations whose elementary solutions represent ``elementary couplings''. Grobner bases provide a tool for generating the complete set of relations between elementary couplings and, most importantly, as an algorithm for specifying a complete, compatible set of ``forbidden couplings''.Comment: Harvmac (b mode : 39 p) and Pictex; this is a substantially reduced version of hep-th/9811113 (with new title); to appear in J. Math. Phy

Contribution des traits psychopathiques à l’évolution des problèmes de conduites de filles et de garçons d'âge scolaire primaire

Les problèmes de conduites (PC) qui surviennent dès l'enfance sont à risque de persistance. Des travaux suggèrent que ce risque est accru lorsque les PC s'accompagnent de traits psychopathiques, opérationnalisés chez l'enfant par des dimensions de dureté-insensibilité, égocentrisme-narcissisme et impulsivitéirresponsabilité. Les travaux sur ces traits se sont cependant centrés sur la dimension de dureté-insensibilité et ne permettent pas d'établir si les trois dimensions des traits psychopathiques offrent une valeur prédictive ajoutée chez des enfants ayant des PC sévères. Cette étude longitudinale a pour objectif principal d'établir la contribution relative des trois dimensions des traits psychopathiques pour prédire l’évolution des PC chez des enfants présentant déjà ces problèmes à l'âge scolaire primaire, et à examiner si ces associations varient selon le genre. Les 213 enfants qui participent à l'étude ont été sélectionnés parmi les élèves de moins de dix ans recevant des services psychoéducatifs et dont les PC atteignaient un seuil clinique. Les analyses de régressions montrent que seule la dimension d'impulsivité-irresponsabilité contribue significativement à prédire les PC trois ans plus tard au-delà de la sévérité initiale des PC et du revenu familial, et ce, uniquement chez les garçons. Les résultats remettent en question l'utilisation de la dimension de dureté-insensibilité pour identifier un sous-groupe d'enfants dont les PC sont persistants, ainsi que la pertinence même des traits psychopathiques pour identifier un tel sous-groupe chez les filles

Expressing Duration and Temporal Relationships by Means of the Present Perfect Progressive

The Present Perfect Progressive often expresses an activity reaching up to the present, as in He has been speaking for two hours. Here the subject is represented after part of the event, hence the impression of an unfinished activity. In some cases, however, the completed portion of the event represents almost the whole event, as we shall see with explicit examples. In other cases still, the Present Perfect Progressive expresess a just- finished event, where the subject is situated after the whole event’s duration. The aim of this article is to answer the following question: how can the Present Perfect Progressive express different moments of the event’s duration and so evoke different types of events? As we shall see, the answer lies in the way that events are expressed by the present participle.Le Present Perfect Progressive exprime souvent une activité se déroulant jusqu’au présent comme dans He has been speaking for two hours. Dans ce cas, le sujet est situé après une partie de l’événement, d’où l’impression d’une activité inachevée. Dans certains cas, cependant, la partie accomplie de l’évènement représente la quasi-totalité de l’évènement, comme nous le verrons dans cet article. Enfin, le Present Perfect Progressive peut exprimer un évènement venant tout juste de se terminer. Dans ce cas, le sujet est situé après la durée entière de l’évènement. Le présent article vise donc à répondre à la question suivante: comment peut-on évoquer différents moments de la durée d’un évènement – et exprimer ainsi différents types d’évènements? Comme nous le verrons, la réponse réside dans la manière de représenter l’évènement exprimé par le participe présent

Generating-function method for fusion rules

This is the second of two articles devoted to an exposition of the generating-function method for computing fusion rules in affine Lie algebras. The present paper focuses on fusion rules, using the machinery developed for tensor products in the companion article. Although the Kac-Walton algorithm provides a method for constructing a fusion generating function from the corresponding tensor-product generating function, we describe a more powerful approach which starts by first defining the set of fusion elementary couplings from a natural extension of the set of tensor-product elementary couplings. A set of inequalities involving the level are derived from this set using Farkas' lemma. These inequalities, taken in conjunction with the inequalities defining the tensor products, define what we call the fusion basis. Given this basis, the machinery of our previous paper may be applied to construct the fusion generating function. New generating functions for sp(4) and su(4), together with a closed form expression for their threshold levels are presented.Comment: Harvmac (b mode : 47 p) and Pictex; to appear in J. Math. Phy