Univariate spline quasi-interpolants and applications to numerical analysis

We describe some new univariate spline quasi-interpolants on uniform partitions of bounded intervals. Then we give some applications to numerical analysis: integration, differentiation and approximation of zeros

Error analysis for quadratic spline quasi-interpolants on non-uniform criss-cross triangulations of bounded rectangular domains

Given a non-uniform criss-cross partition of a rectangular domain $\Omega$, we analyse the error between a function $f$ defined on $\Omega$ and two types of $C^1$-quadratic spline quasi-interpolants (QIs) obtained as linear combinations of B-splines with discrete functionals as coefficients. The main novelties are the facts that supports of B-splines are contained in $\Omega$ and that data sites also lie inside or on the boundary of $\Omega$. Moreover, the infinity norms of these QIs are small and do not depend on the triangulation: as the two QIs are exact on quadratic polynomials, they give the optimal approximation order for smooth functions. Our analysis is done for $f$ and its partial derivatives of the first and second orders and a particular effort has been made in order to give the best possible error bounds in terms of the smoothness of $f$ and of the mesh ratios of the triangulation

Weierstrass quasi-interpolants

International audienceIn this paper, the expression of Weierstrass operators as differential operators on polynomials is used for the construction of associated quasi-interpolants. Then the convergence properties of these operators are studied

Quadrature rules associated with Baskakov quasi-interpolants

Quadrature rules on the positive real half-line obtained by integrating the Baskakov quasi-interpolants described in \cite{MM, Sab7} are constructed and their asymptotic convergence orders are studied. These results are illustrated by some numerical examples. The formulas are based on series of values of the function on uniform partitions and are not comparable with Gauss quadrature rules

A quadrature formula associated with a univariate quadratic spline quasi-interpolant

International audienceWe study a new simple quadrature rule based on integrating a $C^1$ quadratic spline quasi-interpolant on a bounded interval. We give nodes and weights for uniform and non-uniform partitions. We also give error estimates for smooth functions and we compare this formula with Simpson's rule

Caractérisation de la bande riveraine en milieu agricole à l’aide de réseaux de neurones convolutifs profonds multi-vues (MVDCNN) et d’images satellites

En raison des fonctions écologiques qu’elles remplissent, les bandes riveraines végétalisées sont une solution fréquemment employée pour faire face aux problèmes de pollution diffuse en milieu agricole. Or, elles subissent des pressions importantes de nature anthropique qui justifient un suivi de leur état. La caractérisation des bandes riveraines est le plus souvent réalisée par des mesures in situ d’indices de qualité, ce qui mobilise des ressources importantes lorsqu’un vaste territoire est à couvrir et limite la récurrence du suivi. L’objectif global de cette recherche était donc de proposer une approche pour la caractérisation des bandes riveraines en milieu agricole qui est accessible et facilement applicable à l’échelle régionale. Elle s’inspire des récentes avancées en classification d’images apportées par le développement des réseaux de neurones convolutifs profonds (DCNN) et vise à évaluer la capacité de cette technologie pour la détermination de l’indice de qualité des bandes riveraines (IQBR) directement à partir d’images satellites. Pour ce faire, la méthode proposée fait appel aux images multispectrales à très haute résolution spatiale de la constellation Pléiades. De par leur forme étroite et irrégulière, les bandes riveraines ne peuvent être entièrement couvertes par une seule image sans que cette dernière image y intègre des éléments trop éloignés de la bande riveraine. Conséquemment, une architecture de DCNN multi-vues (MVDCNN) modifiée permettant l’utilisation de plusieurs images en entrée de réseau a été entrainée pour établir une corrélation entre l’IQBR mesuré sur le terrain et un ensemble d’images représentant la bande riveraine. Spécifiquement, différents nombres d’images en entrée du réseau multi-vues, sept combinaisons de bandes spectrales des images Pléiades et deux modes d’entrainement ont été testés, soit l’entrainement à partir de zéro et le fine tuning d’un réseau préentrainé. Les résultats démontrent qu’avec l’utilisation des bandes spectrales RGB, l’architecture MVDCNN incorporant un RESNET-18 préentrainé parvient à établir la meilleure corrélation (R2 de 0,932) entre les images de la bande riveraine et son IQBR. De plus, l’emploi de plusieurs images en entrée de réseau lors de l’entrainement a amélioré les résultats par rapport à l’utilisation d’une seule image

Approximating partial derivatives of first and second order by quadratic spline quasi-interpolants

paru dans la revue sous le titre : Approximating partial derivatives of first and second order by quadratic spline quasi-interpolants on uniform meshesGiven a bivariate function $f$ defined in a rectangular domain $\omega$, we approximate it by a $C^1$ quadratic spline quasi-interpolant (abbr. QI) and we take partial derivatives of this QI as approximations to those of $f$. We give error estimates and asymptotic expansions for these approximations. We also propose a simple algorithm for the determination of stationary points, illustrated by a numerical example

Quadratic Spline Quasi-interpolants on Powell-Sabin Partitions

2004-16International audienceIn this paper we address the problem of constructing quasi-interpolants in the space of quadratic Powell-Sabin splines on nonuniform triangulations. Quasi-interpolants of optimal approximation order are proposed and numerical tests are presented

Quadratic spline quasi-interpolants and collocation methods

International audienceUnivariate and multivariate quadratic spline quasi-interpolants provide interesting approximation formulas for derivatives of approximated functions that can be very accurate at some points thanks to the superconvergence properties of these operators. Moreover, they also give rise to good global approximations of derivatives on the whole domain of definition. From these results, some collocation methods are deduced for the solution of ordinary or partial differential equations with boundary conditions. Their convergence properties are illustrated on some numerical examples of elliptic boundary value problems