Nonlinear waves in solids with slow dynamics: an internal-variable model

In heterogeneous solids such as rocks and concrete, the speed of sound diminishes with the strain amplitude of a dynamic loading (softening). This decrease known as "slow dynamics" occurs at time scales larger than the period of the forcing. Also, hysteresis is observed in the steady-state response. The phenomenological model by Vakhnenko et al. is based on a variable that describes the softening of the material [Phys. Rev. E 70-1, 2004]. However, this model is 1D and it is not thermodynamically admissible. In the present article, a 3D model is derived in the framework of the finite strain theory. An internal variable that describes the softening of the material is introduced, as well as an expression of the specific internal energy. A mechanical constitu-tive law is deduced from the Clausius-Duhem inequality. Moreover, a family of evolution equations for the internal variable is proposed. Here, an evolution equation with one relaxation time is chosen. By construction, this new model of continuum is thermodynamically admissible and dissipative (inelas-tic). In the case of small uniaxial deformations, it is shown analytically that the model reproduces qualitatively the main features of real experiments

Dynamics of shock waves in elastic-plastic solids

Submitted in ESAIM ProcedingsThe Maxwell type elastic-plastic solids are characterized by decaying the absolute values of the principal components of the deviatoric part of the stress tensor during the plastic relaxation step. We propose a mathematical formulation of such a model which is compatible with the von Mises criterion of plasticity. Numerical examples show the ability of the model to deal with complex physical phenomena

Modeling hyperelasticity in non equilibrium multiphase flows

International audienceThe aim of this article is the construction of a multiphase hyperelastic model. The Eulerian formulation of the hyperelasticity represents a system of 14 conservative partial differential equations submitted to stationary differential constraints. This model is constructed with an elegant approach where the stored energy is given in separable form. The system admits 14 eigenvalues with 7 characteristic eigenfields. The associated Riemann problem is not easy to solve because of the presence of 7 waves. The shear waves are very diffusive when dealing with the full system. In this paper, we use a splitting approach to solve the whole system using 3 subsystems. This method reduces the diffusion of the shear waves while allowing to use a classical approximate Riemann solver. The multiphase model is obtained by adapting the discrete equations method. This approach involves an additional equation governing the evolution of a phase function relative to the presence of a phase in a cell. The system is integrated over a multiphase volume control. Finally, each phase admits its own equations system composed of three subsystems. One and three dimensional test cases are presented

Fast and slow dynamics in a nonlinear elastic bar excited by longitudinal vibrations

Heterogeneous materials, such as rocks and concrete, have a complex dynamics including hysteresis, nonlinear elasticity and viscoelasticity. It is very sensitive to microstructural changes and damage. The goal of this paper is to propose a physical model describing the longitudinal vibrations of this class of material, and to develop a numerical strategy for solving the evolution equations. The theory relies on the coupling between two processes with radically-different time scales: a fast process at the frequency of the excitation, governed by nonlinear elasticity and viscoelasticity; a slow process, governed by the evolution of defects. The evolution equations are written as a nonlinear hyperbolic system with relaxation. A time-domain numerical scheme is developed, based on a splitting strategy. The numerical simulations show qualitative agreement with the features observed experimentally by Dynamic Acousto-Elastic Testing

Analytical solution to the 1D nonlinear elastodynamics with general constitutive laws

International audienceUnder the hypothesis of small deformations, the equations of 1D elastodynamics write as a 2 × 2 hyperbolic system of conservation laws. Here, we study the Riemann problem for convex and nonconvex constitutive laws. In the convex case, the solution can include shock waves or rarefaction waves. In the nonconvex case, compound waves must also be considered. In both convex and nonconvex cases, a new existence criterion for the initial velocity jump is obtained. Also, admissibility regions are determined. Lastly, analytical solutions are completely detailed for various constitutive laws (hyperbola, tanh and polynomial), and reference test cases are proposed

Une méthode numérique robuste et rapide pour la résolution des équations de Serre-Green-Naghdi décrivant les ondes de surfaces de grandes longueurs d'ondes

Une nouvelle méthode numérique pour la résolution des équations de Serre-Green-Naghdi (SGN)décrivant les ondes dispersives pour les écoulements en eau peu profonde est proposée. D'un point de vue mathématique, les équations SGN sont les équations d'Euler-Lagrange pour un Lagrangien soumis a une contrainte différentielle : la conservation de la masse. Une des difficultés principale pour la résolution de ces équations est la nécessité de résoudre un problème elliptique à chaque pas de temps. Cette étape est la plus coûteuse lors de la résolution numérique de ce système. L'idée est ici de remplacer ce Lagrangien par une famille de Lagrangien étendu a un paramètre pour lequel les équations d'Euler Lagrange correspondantes sont hyperbolique. Avec cette approche, le Lagrangien initial est retrouvé à la limite (par exemple quand le paramètre est grand.). Le choix de cette famille de Lagrangien est discuté. Le modèle hyperbolique est résolu numériquement par une méthode de type Godunov. Les solutions numériques sont comparées avec des solutions exactes des équations de SGN. Cette méthode est appliqué pour l'étude des ondes de 'Favre' pour les ressaut ondulaire produit lors de la réflexion d'un écoulement à surface libre avec un obstacle immobile. Cette nouvelle méthode permet de réduire nettement les temps de calcul par rapport aux méthodes nécessitant l'inversion d'un opérateur elliptique

Modélisation de la compaction dynamique avec dérive des vitesses

Dans ce rapport, on présente un modèle hyperbolique d'écoulement multiphasique incluant la compaction dynamique irréversible de poudres. Ce modèle doit être capable de remplir quatre principaux objectifs. Le premier objectif concerne le caractère irréversible de la compaction des poudres. Quand un lit de poudres est soumis à un cycle de charge-décharge, le volume final est plus petit que le volume initial. Afin de traiter ce problème d'hystérésie, on construit un modèle avec relaxation. Durant la phase de charge, on suppose que l'équilibre mécanique a lieu, ce qui correspond à une relaxation instantanée des pressions. Dans la phase de décharge, on suppose au contraire qu'une transformation mécanique a lieu, conduisant à un état mécanique hors équilibre. Par conséquent, durant chacun de ces cycles, les vitesses du son des modèles limites sont très différentes. Ces différences dans les propriétes acoustiques sont la cause justement du caractère irréversible du processus de compaction. Le second objectif est relié aux effets dynamiques, là où la pression et les ondes de chocs jouent un rôle important. La dynamique des ondes est assurée par l'hyperbolicité du modèle et l'on tient compte aussi bien de la compressibilité des phases que des énergies de configuration. Le troisième objectif concerne les effets multidimensionnels aux interfaces matérielles. En effet, la plupart des processus de com- paction font intervenir des surfaces libres. Par conséquent, le modèle doit être capable de traiter de problèmes d'interfaces entre des fluides purs et des mélanges granulaires. Enfin, le quatrième objectif concerne la perméa- tion des gaz qui peut jouer un rôle important dans certains cas spécifiques de compaction de poudres. Se pose alors la question délicate de description de ces vitesses multiples. Ces quatre points sont considérés dans un modèle unique appartenant à la classe des modèles des interfaces diffuses. La capacité du modèle a traiter ces phénomènes est validée dans des situations où chaque effet est considéré séparément. En particulier, le caractère irréversible de la compaction est considéré et validé sur plu- sieurs exemples : expérience sur un matériel énergétique (HMX granulaire), compaction granulaire de NaCl. À part les équations d'état des matériaux (pressions granulaires et hydrodynamiques, et les énergies associées), le modèle est de plus exempt de paramètre ajustable. On reproduit enfin les effets de perméation des gaz à l'aide d'un modèle de dérive des vitesses, et une analyse sur la production d'entropie. Le modèle résultant est validé sur un cas test de tube à choc où une onde de choc traverse un lit granulaire de forte densité et montre un accord parfait avec l'expérience

Modèles de milieux continus généralisés et conditions aux limites obtenus par homogénéisation d’ordre deux pour la propagation d’ondes en milieux périodiques 1D

International audienc

A unified hyperbolic formulation for viscous fluids and elastoplastic solids

We discuss a unified flow theory which in a single system of hyperbolic partial differential equations (PDEs) can describe the two main branches of continuum mechanics, fluid dynamics, and solid dynamics. The fundamental difference from the classical continuum models, such as the Navier-Stokes for example, is that the finite length scale of the continuum particles is not ignored but kept in the model in order to semi-explicitly describe the essence of any flows, that is the process of continuum particles rearrangements. To allow the continuum particle rearrangements, we admit the deformability of particle which is described by the distortion field. The ability of media to flow is characterized by the strain dissipation time which is a characteristic time necessary for a continuum particle to rearrange with one of its neighboring particles. It is shown that the continuum particle length scale is intimately connected with the dissipation time. The governing equations are represented by a system of first order hyperbolic PDEs with source terms modeling the dissipation due to particle rearrangements. Numerical examples justifying the reliability of the proposed approach are demonstrated.Comment: 6 figure