The Analytic Properties of the S-matrix for Arbitrary Interactions Which Externally Pass into the Centrifugal and Rapidly Decreasing Potentials

The analytic structure of non-relativistic unitary and non-unitary S-matrices is reviewed for the cases of arbitrary interactions (and may be, with the unspecified equations of motion) inside a sphere of radius r ≤ a which pass outside it (at r > a) into the centrifugal and decreasing (exponentially, by the Yukawa law, or more rapidly) potentials on the base of the author’s papers from 1961 till 2006. The one-channel case and special examples of many-channel cases are considered. Some kinds of the symmetry conditions are imposed. The Schr¨odinger equation for r > a for the particle motion and the condition of completeness of the corresponding wave functions are assumed. Finally, a scientific program of the future research is presented as a clear continuation and an extension of the obtained results.Подано огляд робiт, виконаних автором з 1961 по 2006 роки, з аналiтичної структури нерелятивiстської унiтарної та неунiтарної S-матриць у випадку довiльних взаємодiй (i, можливо, з довiльними рiвняннями руху) всерединi сфери радiуса r ≤ a, якi в зовнiшнiй областi (r > a) переходять в доцентровий та швидко згасаючi (за експоненцiальним чи юкавiвським законами або згасаючi бiльш швидко) потенцiали. Розглянуто одноканальний та особливi багатоканальнi випадки. Накладено умови симетрiї деяких типiв. Використовуються рiвняння Шредiнгера для руху частинок в областi r > a та умова повноти вiдповiдних хвильових функцiй. На заключення представлено програму можливих дослiджень як зрозумiле продовження i розширення одержаних результатiв

Threats to Ocean Biodiversity

Overfishing Taking fish out of the ocean faster than their populations can be naturally replenishedhttps://digitalcommons.imsa.edu/unsdg_infographics/1004/thumbnail.jp