36 research outputs found
Modular Completely Dirichlet forms as Squares of Derivations
We prove that certain closable derivations on the GNS Hilbert space
associated with a non-tracial weight on a von Neumann algebra give rise to
GNS-symmetric semigroups of contractive completely positive maps on the von
Neumann algebra
A dual formula for the noncommutative transport distance
In this article we study the noncommutative transport distance introduced by
Carlen and Maas and its entropic regularization defined by Becker and Li. We
prove a duality formula that can be understood as a quantum version of the dual
Benamou-Brenier formulation of the Wasserstein distance in terms of
subsolutions of Hamilton-Jacobi-Bellmann equation
The Differential Structure of Generators of GNS-symmetric Quantum Markov Semigroups
We show that the generator of a GNS-symmetric quantum Markov semigroup can be
written as the square of a derivation. This generalizes a result of Cipriani
and Sauvageot for tracially symmetric semigroups. Compared to the tracially
symmetric case, the derivations in the general case satisfy a twisted product
rule, reflecting the non-triviality of their modular group. This twist is
captured by the new concept of Tomita bimodules we introduce. If the quantum
Markov semigroup satisfies a certain additional regularity condition, the
associated Tomita bimodule can be realized inside the space of a bigger
von Neumann algebra, whose construction is an operator-valued version of free
Araki-Woods factors
Entropic gradient flow structure of quantum Markov semigroups
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion einer nichtkommutativen Transportmetrik, die es erlaubt, spursymmetrische vollstĂ€ndig Markovsche Halbgruppen als Gradientenfluss eines Entropiefunktionals aufzufassen. Eine vollstĂ€ndig Markovsche Halbgruppe ist eine Halbgruppe von unitalen, vollstĂ€ndig positiven Operatoren auf einer von Neumann algebra mit gewissen Stetigkeitseigenschaften. Ein Gradientenfluss eines Funktionals auf einem metrischen Raum ist eine Kurve, die zu jedem Zeitpunkt in die Richtung des steilsten Abstieges flieĂt. Es ist in einer Reihe von FĂ€llen bekannt, dass man die GradientenflĂŒsse der Boltzmann-Entropie oder ihres nichtkommutativen Analogons, der von Neumann-Entropie, bezĂŒglich geeigneter Transportmetriken als Lösungen von linearen Evolutionsgleichungen charakterisieren kann, zum Beispiel der WĂ€rmeleitungsgleichung oder der Lindblad Master Equation. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass das gemeinsame zugrundeliegende Prinzip in all diesen FĂ€llen die Markoveigenschaft der linearen Evolutionsgleichung ist. Dazu wird fĂŒr eine gegebene spursymmetrische vollstĂ€ndig Markovsche Halbgruppe eine Transportmetrik auf dem Raum der Dichteoperatoren konstruiert, die die Metriken in den oben genannten FĂ€llen verallgemeinert. Es wird bewiesen, dass unter geeigneten Voraussetzungen die gegebene Halbgruppe der eindeutige Gradientenfluss der von Neumann-Entropie ist. Als Konsequenzen werden SemikonvexitĂ€t der Entropie entlang von GeodĂ€ten und FunktionalungleichungenfĂŒr die Halbgruppe diskutiert
Diffusion determines the recurrent graph
We consider diffusion on discrete measure spaces as encoded by Markovian
semigroups arising from weighted graphs. We study whether the graph is uniquely
determined if the diffusion is given up to order isomorphism. If the graph is
recurrent then the complete graph structure and the measure space are
determined (up to an overall scaling). As shown by counterexamples this result
is optimal. Without the recurrence assumption, the graph still turns out to be
determined in the case of normalized diffusion on graphs with standard weights
and in the case of arbitrary graphs over spaces in which each point has the
same mass. These investigations provide discrete counterparts to studies of
diffusion on Euclidean domains and manifolds initiated by Arendt and continued
by Arendt/Biegert/ter Elst and Arendt/ter Elst. A crucial step in our
considerations shows that order isomorphisms are actually unitary maps (up to a
scaling) in our context.Comment: 30 page