Modular Completely Dirichlet forms as Squares of Derivations

We prove that certain closable derivations on the GNS Hilbert space associated with a non-tracial weight on a von Neumann algebra give rise to GNS-symmetric semigroups of contractive completely positive maps on the von Neumann algebra

A dual formula for the noncommutative transport distance

In this article we study the noncommutative transport distance introduced by Carlen and Maas and its entropic regularization defined by Becker and Li. We prove a duality formula that can be understood as a quantum version of the dual Benamou-Brenier formulation of the Wasserstein distance in terms of subsolutions of Hamilton-Jacobi-Bellmann equation

The Differential Structure of Generators of GNS-symmetric Quantum Markov Semigroups

We show that the generator of a GNS-symmetric quantum Markov semigroup can be written as the square of a derivation. This generalizes a result of Cipriani and Sauvageot for tracially symmetric semigroups. Compared to the tracially symmetric case, the derivations in the general case satisfy a twisted product rule, reflecting the non-triviality of their modular group. This twist is captured by the new concept of Tomita bimodules we introduce. If the quantum Markov semigroup satisfies a certain additional regularity condition, the associated Tomita bimodule can be realized inside the $L^2$ space of a bigger von Neumann algebra, whose construction is an operator-valued version of free Araki-Woods factors

Entropic gradient flow structure of quantum Markov semigroups

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion einer nichtkommutativen Transportmetrik, die es erlaubt, spursymmetrische vollständig Markovsche Halbgruppen als Gradientenfluss eines Entropiefunktionals aufzufassen. Eine vollständig Markovsche Halbgruppe ist eine Halbgruppe von unitalen, vollständig positiven Operatoren auf einer von Neumann algebra mit gewissen Stetigkeitseigenschaften. Ein Gradientenfluss eines Funktionals auf einem metrischen Raum ist eine Kurve, die zu jedem Zeitpunkt in die Richtung des steilsten Abstieges fließt. Es ist in einer Reihe von Fällen bekannt, dass man die Gradientenflüsse der Boltzmann-Entropie oder ihres nichtkommutativen Analogons, der von Neumann-Entropie, bezüglich geeigneter Transportmetriken als Lösungen von linearen Evolutionsgleichungen charakterisieren kann, zum Beispiel der Wärmeleitungsgleichung oder der Lindblad Master Equation. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass das gemeinsame zugrundeliegende Prinzip in all diesen Fällen die Markoveigenschaft der linearen Evolutionsgleichung ist. Dazu wird für eine gegebene spursymmetrische vollständig Markovsche Halbgruppe eine Transportmetrik auf dem Raum der Dichteoperatoren konstruiert, die die Metriken in den oben genannten Fällen verallgemeinert. Es wird bewiesen, dass unter geeigneten Voraussetzungen die gegebene Halbgruppe der eindeutige Gradientenfluss der von Neumann-Entropie ist. Als Konsequenzen werden Semikonvexität der Entropie entlang von Geodäten und Funktionalungleichungenfür die Halbgruppe diskutiert

Diffusion determines the recurrent graph

We consider diffusion on discrete measure spaces as encoded by Markovian semigroups arising from weighted graphs. We study whether the graph is uniquely determined if the diffusion is given up to order isomorphism. If the graph is recurrent then the complete graph structure and the measure space are determined (up to an overall scaling). As shown by counterexamples this result is optimal. Without the recurrence assumption, the graph still turns out to be determined in the case of normalized diffusion on graphs with standard weights and in the case of arbitrary graphs over spaces in which each point has the same mass. These investigations provide discrete counterparts to studies of diffusion on Euclidean domains and manifolds initiated by Arendt and continued by Arendt/Biegert/ter Elst and Arendt/ter Elst. A crucial step in our considerations shows that order isomorphisms are actually unitary maps (up to a scaling) in our context.Comment: 30 page