Time evolution and decoherence of a spin-1/2 particle coupled to a spin bath in thermal equilibrium

The time evolution of a spin-1/2 particle under the influence of a locally applied external magnetic field, and interacting with anisotropic spin environment in thermal equilibrium at temperature $T$ is studied. The exact analytical form of the reduced density matrix of the central spin is calculated explicitly for finite number of bath spins. The case of an infinite number of environmental spins is investigated using the convergence of the rescaled bath operators to normal Gaussian random variables. In this limit, we derive the analytical form of the components of the Bloch vector for antiferromagnetic interactions within the bath, and we investigate the short-time and long-time behavior of reduced dynamics. The effect of the external magnetic field, the anisotropy and the temperature of the bath on the decoherence of the central spin is discussed.Comment: 17 pages, 13 figures (compressed), one table. To appear in Phys. Rev.

Dynamical decoupling of unbounded Hamiltonians

We investigate the possibility to suppress interactions between a finite dimensional system and an infinite dimensional environment through a fast sequence of unitary kicks on the finite dimensional system. This method, called dynamical decoupling, is known to work for bounded interactions, but physical environments such as bosonic heat baths are usually modelled with unbounded interactions, whence here we initiate a systematic study of dynamical decoupling for unbounded operators. We develop a sufficient decoupling criterion for arbitrary Hamiltonians and a necessary decoupling criterion for semibounded Hamiltonians. We give examples for unbounded Hamiltonians where decoupling works and the limiting evolution as well as the convergence speed can be explicitly computed. We show that decoupling does not always work for unbounded interactions and provide both physically and mathematically motivated examples.Comment: 18 pages, 3 figure

Zur mathematischen Theorie der Druckverbreiterung von Spektrallinien

Das Thema dieser Arbeit ist die Ableitung und Diskussion einer Formel von P. W. ANDERSON. Das statistische Modell eines unendlich ausgedehnten Gases bestehend aus gleichartigen, voneinander unabhängigen Teilchen wird aufgestellt und daraus die Formel hergeleitet. Wie die Diskussion des Linienprofils ergibt, gilt die quasistatische Approximation auf den Linienßügeln. Mit der Stoßapproximation in der Linienmitte hat man nur zu rechnen, falls die mittlere Anzahl der Teilchen innerhalb des Weißkopf-Radius sehr klein gegen 1 ist

Positive Halbgruppen auf einem n-dimensionalen Torus

Eine positive Halbgruppe ist eine Familie {U(t), t $\geq$ o} von positiven linearen Operatoren über einem Raum stetiger Funktionen auf einer Grundmenge (hier: dem n-dimensionalen Torus). Die Abbildung t $\rightarrow$U(t) ist eine Darstellung der additiven Halbgruppe der reellen Zahlen $\geq$ O. Das bedeutet: U(O) = I (identischer Operator), $U(t_{1})U(t_{2})$ = U($_{t1}$ + t$_{2}$). Ein Operator heißt positiv, wenn er Funktionen mit Werten $\geq$ 0 in eben solche Funktionen überführt. Die Aufgabe dieser Arbeit ist es, den Grenzübergang (U(t)-I)/t $\rightarrow$ A (t $\downarrow$ 0) zu untersuchen und die Form von A zu diskutieren. Die positiven Halbgruppen finden ihre Anwendung in der Theorie der Markow'schen stochastischen Prozesse. Die zeitliche Entwicklung eines solchen Prozesses wird durch eine positive Halbgruppe beschrieben, die durch die zusätzliche Bedingung ausgezeichnet ist, daß die konstante Funktion 1 in sich übergeht. Eine solche Halbgruppe nennt man eine Markow-Halbgruppe. Aus der berühmten Charakterisierung aller beliebig teilbaren Wahrscheinlichkeitsgesetze durch P. Lévy / 5 / folgt sofort die Lösung unserer Aufgabe für alle Markow-Halbgruppen auf der reellen Achse, die mit den Translationen dieser Achse vertauschbar sind und schwachen Stetigkeitsbedingungen gehorchen (Yosida / 8 /, Rille und Phillips / 9 / S. 652 ff). Der Übergang von Markowhalbgruppen zu positiven Halbgruppen ist eine triviale Verallgemeinerung. Diese Überlegungen beruhten zum großen Teil auf der Fouriertransformation. Hunt / 3 / konnte sich von dieser Methode frei machen und denSatz für diejenigen positiven Halbgruppen beweisen, deren Grundmenge eine Lie'sche Gruppe ist und die mit den Gruppentranslationen vertauschbar sind

Maschinelle Berechnung der Koeffizienten der formalen Potenzreihe log exeye^{x}e^{y}

Die Koeffizienten der formalen Potenzreihe log $e^{X}e^{Y}$, wo x und Y nicht vertauschbare Unbestimmte sind, wurden bis zum Grade acht auf der elektronischen Rechenmaschine IBM 1620 des Instituts für Plasmaphysik in Jülich berechnet und tabelliert. Das dabei verwandte, sehr einfache Programm kann auch für andere Potenzreihen Verwendung finden