Solving Algebraic Equations in Modular Arithmetic

У багатьох задачах теорії чисел та дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами за певним модулем. При такому підході кожне ціле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику. Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебраїчної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для цілих чисел, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків та похідних від нього операцій – піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від’ємних та дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв’язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації. У даній статті розглядаються особливості розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв’язності окремих типів алгебраїчних рівнянь (зокрема, лінійних та квадратних) та систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми і приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.It is necessary to perform arithmetic operations for a particular module in many tasks of Theory of Numbers, Discrete Mathematics and Cipher Theory. In this case, each integer can be identified with the remainder of this module and consider a plurality of residues as a new Modular Arithmetic. In spite of the fact arithmetic operations over elements of an algebraic structure formed in this way are introduced in the same way as they are defined for integers, and are determined by the corresponding residues from division into a module. However, depending on the module, some features may arise when multiplying the classes of residues and derivative operations, elevation to degree and extraction of the root, when solving equations and their systems. In Arithmetics for a simple module, the results of the operations of subtraction and division for a non-zero element also are the elements of the corresponding Arithmetics. Therefore, they can be considered without negative and fractional expressions. Moreover, in such an Arithmetics, most of well-known algorithms of solving algebraic equations and their systems are preserved. On the other hand, in the Arithmetics for the compiled module, the established rules may be violated, what is explained by the existence of dividers of zero in them. Despite the fact that the implementation of arithmetic operations in finite Arithmetics basing mostly on the Theory of Congruences and the Theory of Rings, which are studied in the course of Algebra and Theory of Numbers, only some individual publications are devoted to the study of Modular Arithmetics, the peculiarities of the implementation of arithmetic operations and the solving algebraic equations and their systems, in them. In this article peculiarities algebraic equations and their systems in Modular Arithmetic. The solvability of certain types of algebraic equations (in partiqular, linear and square equations), as well as systems of linear equations in arithmetic by a simple module, is explored, and the corresponding algorithms and examples are given. The problem of solvability of certain types of algebraic equations, as well as systems of linear equations in Modular Arithmetic is explored. Corresponding algorithms and examples are given in this article. The material of the article can be used in the study of relevant topics in the Theory of Numbers and Discrete Mathematics, as well as at the lessons of the special courses and mathematical circles

Сучасна Україна: зміна парадигми у формуванні громадянського суспільства

Лукашова Г. В. Сучасна Україна: зміна парадигми у формуванні громадянського суспільства / Г. В. Лукашова // Актуальні проблеми держави і права : зб. наук. пр. / редкол.: С. В. Ківалов (голов. ред.), Ю. М. Оборотов (заст. голов. ред.), Л. Р. Біла (відп. секр.) [та ін.] ; ОНЮА. – Одеса : Юрид. л-ра, 2005. – Вип. 25. – С. 20-22

The Modular Arithmetics

У багатьох задачах теорії чисел, дискретної математики та теорії шифрів доводиться знаходити остачі від ділення на деяке натуральне число (модуль) та виконувати арифметичні дії над знайденими остачами. Розглядаючи сукупність остач та вводячи операції додавання, віднімання, множення та ділення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елементів у цих арифметиках скінченне, тому іноді їх називають скінченними арифметиками. Незважаючи на те, що арифметичні дії в модульних арифметиках вводяться аналогічно до того, як вони визначені для цілих чисел, деякі особливості виникають при множенні елементів, піднесенні їх до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами відповідних арифметик. Тому в них можна обходитись без від’ємних та дробових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик та особливостям виконання в них арифметичних дій присвячено лише окремі публікації. У даній статті розглядаються особливості виконання арифметичних операцій у модульних арифметиках, які конструюються на основі кілець класів лишків цілих чисел за заданим модулем. Значну увагу приділено питанням піднесення до степеня та добування кореня, наведено відповідні приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.In many problems of number theory, discrete mathematics and theory of ciphers you have to find the modulo for some positive integer (the modulus) and to perform arithmetic operations on found rest. Considering the totality of the balance and the introducing operations of addition, subtraction, multiplication and division for educated, come to the so-called modular arithmetic. The number of elements in these finite arithmetic, so sometimes called a finite arithmetic. Despite the fact that the arithmetic operations in the comparison module are entered the same way as they are defined for integers, some peculiarities arise from the multiplication of the elements, the lifting them to a power and extracting the root, and then in the solution of equations and their systems. In arithmetic to a Prime modulus, the results of the operations of subtraction and division by a nonzero element is also the relevant elements of arithmetic. So they can do without negative and fractional expressions. In addition, the arithmetic remains the most well-known algorithms for solving algebraic equations and their systems. On the other hand, in the arithmetic module according to the established rules can be violated, owing to the existence in them of zero divisors. Despite the fact that the arithmetic operations in finite arithmetic relies heavily on the theory of congruences and of the theory of rings that are studied in the course algebra and number theory, the study of modular arithmetic and run them in arithmetic is concerned only separate publication. This article discusses the features of execution of arithmetic operations in the comparison module, which are constructed on the basis of the residue class rings of integers with a given module. Considerable attention is given to issues of exponentiation, and root extraction, the appropriate examples are given. The material can be used for studying relevant topics on number theory and discrete mathematics, and discussed in the classroom courses and math

Learning Future Math Teachers to Solve the Problems of Graph Theory Using GeoGebra

Підготовка фахівців у галузі математики, комп'ютерних та технічних наук, учителів природничо-математичних спеціальностей передбачає вивчення різних розділів сучасної математики, серед яких теорія графів займає особливе місце в силу своєї затребуваності у різних галузях людської діяльності. Формулювання проблеми. Теорія графів позиціонується як наука про абстрактні об'єкти та зв'язки між ними, що, у свою чергу, обумовлює формалізацію умов типових задач, їх відрив від реальності, й у багатьох випадках передбачає виконання громіздких обчислень, результат яких не лише «не відчувається» студентами, але й часто відштовхує своєю формалізованістю. Це спричиняє труднощі у сприйнятті студентами навчального матеріалу з теорії графів, а тому виникає потреба у пошуку шляхів їх уникнення. Метою статті є опис методичного підходу у навчанні майбутніх вчителів математики розв'язувати задачі теорії графів, умови яких «прив'язуються» до місцевого матеріалу і передбачають формування у майбутніх фахівців уміння застосовувати набуті знання на практиці, із використаннямпрограми GeoGebra. Матеріали і методи. Аналіз та систематизація науково-педагогічної літератури з використання спеціалізованих програмних засобів при вивченні різних галузей вищої математики, зокрема, дискретної математики. Емпіричний аналіз комп'ютерного інструментарію програмних засобів предметного спрямування у контексті розв'язування задач теорії графів та візуалізації результатів. Результати. Аналіз комп'ютерного інструментарію окремих програм динамічної математики дозволив виділити специфічні комп'ютерні інструменти, орієнтовані на теорію графів Нами пропонується використання GeoGebra, де розробниками закладено різноманітні інструменти для роботи з графами, які зосереджені у розділі Дискретная математика: діаграма Вороного, триангуляція Делоне, задача комівояжера, найкоротша відстань, мінімальне кістякове дерево, опукла оболонка. Зауважимо, що використання програми GeoGebra дозволяє не тільки розв'язати типові задачі курсу, а і пов'язати кожну задачу з реальною життєвою ситуацією через використання місцевого матеріалу та його візуалізацію. Висновки. Попередні результати навчання підтверджують ефективність описаного підходу та доцільність використання саме програми GeoGebra при вивченні теорії графів.Training of specialists in the field of mathematics, computer and technical sciences, teachers of natural and mathematical specialties involves the study of various sections of modern mathematics, among which the theory of graphs occupies a special place due to its demand in various fields of human activity. Formulation of the problem. Graph theory is positioned as a science about abstract objects and relations between them, which, in turn, causes the formalization of the conditions of typical tasks, their separation from reality, and in many cases involves the implementation of cumbersome calculations, the result of which is not only "not felt" by students, but often repulses because of their formalism. This makes it difficult for students to perceive study material on graph theory, and therefore there is a need to find ways to avoid them. Materials and methods. Analysis and systematization of scientific and pedagogical literature on the use of specialized software in the study of various areas of higher mathematics, in particular, discrete mathematics. Empirical analysis of computer tools for object-oriented software in the context of solving the problems of graph theory and visualizing the results of solving. Results. The authors see such a way in the use of computer visualization tools, namely, dynamic mathematics software. Analysis of the toolkit of some dynamic mathematics software allowed to allocate specific computer tools focused on graph theory. We are offered a dynamic mathematics software GeoGebra to support the study of graph theory. Typically, the use of software in studying graph theory reduces to the simple construction of the vertices and edges of the graph, the definition of some graph characteristics (planar, eulerism, etc.) and the execution of a number of elementary actions (the definition of degrees of vertices, the construction of a frame tree, the search for the shortest paths between vertices in a weighted the graph). GeoGebra developers have more diverse tools for working with graphs, which are concentrated in the Discrete Mathematics section: Voronoi diagram, Delaunay triangulation, the travelling salesman problem, the shortest distance, the minimum spanning tree, and the convex shell. Note that the use of the GeoGebra allows not only to solve these tasks, but also to link each task with a real life situation using local material and its visualization. Conclusions. The preliminary learning outcomes confirm the effectiveness of the described approach and the feasibility of using the GeoGebra in studying graph theory

Неврологические проявления иксодового клещевого боррелиоза, ассоциированного с хроническим описторхозом, в Томской области

A comparative analysis of neurological manifestations in patients with acute ixodic tick-borne borreliosis (ITB) and patients with ITB associated with chronic opisthorchiasis has been carried out. It has been found that at ITB in the acute phase, nearly all parts of the nervous system are involved in the pathological process. Diseases of central parts of the nervous system were found in 86.7% patients with the monoinfection and in 96.7% patients with ITB associated with chronic opisthorchiasis, diseases of the vegetative part were found in 75.0 and 83.3% patients, and peripheral failures were found in 18.3 and 48.3% patients, respectively. In the structure of neurological pathology of the acute stage of ITB with chronic opisthorchiasis, the prevalence of the combined disease of different parts of the nervous system (93.3%), the more frequent occurrence (96.7%) and higher intensity of headaches (more than 4 points by the visual analog scale), vertigo (76.7%), cognitive failures (35.0%), signs of the vegetative disfunction syndrome (95.0%), and peripheral neuropathy (48.3%) were diagnosed.Проведен сравнительный анализ неврологических проявлений у 60 пациентов с острым иксодовым клещевым боррелиозом (ИКБ) и 60 больных с острым ИКБ на фоне хронического описторхоза. Установлено, что при ИКБ острой стадии в патологический процесс вовлекаются практически все отделы нервной системы. Так, поражение центральных отделов нервной системы выявлено у 86,7% больных с моноинфекцией и у 96,7% — с ИКБ на фоне хронического описторхоза, вегетативного отдела — у 75,0 и 83,3% и периферические расстройства — у 18,3 и 48,3% соответственно. В структуре неврологической патологии острой стадии ИКБ на фоне хронического описторхоза констатировали преобладание комбинированного поражения различных отделов нервной системы (93,3%), более значимую частоту регистрации (96,7%) и бóльшую выраженность головных болей (по визуальный аналоговой шкале более 4 баллов), головокружения (76,7%), когнитивных расстройств (35,0%), проявлений синдрома вегетативной дисфункции (95,0%) и периферических нейропатий (48,3%)

Катамнез результатов лечения больных с острым иксодовым клещевым боррелиозом

The aim of the work is to study the efficiency of different antibacterial medication combinations for the treatment of patients with acute Lyme mite borreliosis. 156 patients aged 20—76 have been on regular medical check-up. Different penicillin and tetracycline antibiotics have been applied as well as cephalosporins of 1 and 3 generation. The treatment duration has been 7—14 days. The duration of general intoxication syndrome, terms of clinical symptom dissapearance, antibody titer dynamics in indirect immunofluorescence reaction with borreliosis antigen, presence of side actions and long-term results of the treatment have been taken into account in the evaluation of different antibiotic combination efficiency. 1 year after discharge from the hospital 69,2% of observed persons considered themselves healthy, 15,4% obtained the diagnosis of chronic clinical LMB with predominant joint or nervous system damages. Thus, analysis of the investigation result shows that currently used etiotropic therapy regimens are not sufficiently effective. They allow recovery of 69,2% of patients with acute Lyme mite borreliosis only.Цель работы — изучить эффективность различных антибактериальных препаратов для лечения больных острым иксодовым клещевым боррелиозом (ИКБ). На диспансерном наблюдении находилось 156 пациентов в возрасте от 20 до 76 лет. Применялись различные сочетания антибиотиков пенициллинового и тетрациклинового рядов, а также цефалоспорины 1-го и 3-го поколения. Продолжительность лечения составила 7—14 сут. При оценке эффективности принимались во внимание продолжительность синдрома общей интоксикации, сроки исчезновения клинических симптомов, динамика титров антител в непрямой реакции иммунофлюоресценции с боррелиозным антигеном, наличие побочных действий препаратов и отдаленные результаты лечения. Через 1 год после выписки из стационара 69,2% наблюдаемых считали себя здоровыми, у 15,4% была диагностирована хроническая манифестная форма ИКБ с преимущественным поражением суставов либо нервной системы. Анализ результатов исследования свидетельствует о том, что использующиеся в настоящее время схемы этиотропной терапии недостаточно эффективны. Они позволяют добиться выздоровления лишь у 69,2% пациентов с острым ИКБ

Клещевой вирусный энцефалит в Томской области за последние 10 лет

In the given work had been lead the analysis of epidemiological data TBE for 1999—2009 on Tomsk area. The information on quantity imparted against tick-borne encephalitis, about results of research of pincers and blood at the persons who have addressed on points prevention of tick-borne encephalitis and about quantity of the diseased tick-borne encephalitis is presented. Analysis of a complex of preventive actions is spent. The reasons of formation of the long maintenance of a virus tick-borne encephalitis in blood are shown.Представлен анализ итогов эпидемических сезонов по клещевому энцефалиту 1999—2009 гг. по Томской области. Дана информация о количестве привитых против клещевого энцефалита, о результатах исследования клещей и крови у лиц, обратившихся на пункты серопрофилактики, и о количестве заболевших клещевым энцефалитом. Проведен разбор комплекса профилактических мероприятий. Показаны причины формирования длительного антигеноносительства вируса клещевого энцефалита

14-3-3epsilon contributes to tumour suppression in laryngeal carcinoma by affecting apoptosis and invasion

<p>Abstract</p> <p>Background</p> <p>14-3-3epsilon regulates a wide range of biological processes, including cell cycle control, proliferation, and apoptosis, and plays a significant role in neurogenesis and the formation of malignant tumours. However, the exact function and regulatory mechanism of 14-3-3epsilon in carcinogenesis have not been elucidated.</p> <p>Methods</p> <p>The expression of <it>14-3-3epsilon </it>was assessed by RT-PCR and western blotting. The invasiveness and viability of Hep-2 cells were determined by the transwell migration assay and MTT assay, respectively. Cell cycle and apoptosis of Hep-2 cells were detected by flow cytometry.</p> <p>Results</p> <p>The mRNA and protein expression of <it>14-3-3epsilon </it>in larynx squamous cell carcinoma (LSCC) tissues were significantly lower than those in clear surgical margin tissues. Statistical analysis showed that the 14-3-3epsilon protein level in metastatic lymph nodes was lower than that in paired tumour tissues. In addition, the protein level of 14-3-3epsilon in stage III or IV tumours was significantly lower than that in stage I or II tumours. Compared with control Hep-2 cells, the percentages of viable cells in the 14-3-3epsilon-GFP and negative control GFP groups were 36.68 ± 14.09% and 71.68 ± 12.10%, respectively. The proportions of S phase were 22.47 ± 3.36%, 28.17 ± 3.97% and 46.15 ± 6.82%, and the apoptotic sub-G1 populations were 1.23 ± 1.02%, 2.92 ± 1.59% and 13.72 ± 3.89% in the control, negative control GFP and 14-3-3epsilon-GFP groups, respectively. The percentages of the apoptotic cells were 0.84 ± 0.25%, 1.08 ± 0.24% and 2.93 ± 0.13% in the control, negative control GFP and 14-3-3epsilon-GFP groups, respectively. The numbers of cells that penetrated the filter membrane in the control, negative control GFP and 14-3-3epsilon-GFP groups were 20.65 ± 1.94, 17.63 ± 1.04 and 9.1 ± 0.24, respectively, indicating significant differences among the different groups.</p> <p>Conclusions</p> <p>Decreased expression of <it>14-3-3epsilon </it>in LSCC tissues contributes to the initiation and progression of LSCC. <it>14-3-3epsilon </it>can promote apoptosis and inhibit the invasiveness of LSCC.</p