ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ PETTY ΚΑΙ BRASS&DEKSTER

Στην παρούσα εργασία μελετώνται ισόπλευρα (equilateral) σύνολα σε χώ- ρους με νόρμα πεπερασμένης διάστασης. ΄Ενα υποσύνολο S ενός χώρου με νόρμα (X, k· k) λέγεται ισόπλευρο, όταν τα στοιχεία του ανά δύο έχουν στα- θερή απόσταση. Με e(X) συμβολίζουμε το μέγιστο πλήθος ενός ισόπλευρου συνόλου στον X· το πλήθος αυτό είναι πεπερασμένο, λόγω συμπάγειας της μοναδιαίας σφαίρας, όταν ο X έχει πεπερασμένη διάσταση. Είναι γνωστό ότι αν X = l n 2 (= ο ευκλείδειος χώρος διάστασης n) τότε e(X) = n + 1 και ότι e(X) = 2n στην περίπτωση της l∞ νόρμας. Είναι ακόμη γνωστό ότι αν dim X = n τότε e(X) ≤ 2 n και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ο X είναι ισομετρικός με τον l n ∞. Εικάζεται ότι αν dim X = n, τότε e(X) ≥ n + 1 (δηλαδή ο n + 1 είναι ένα κάτω φράγμα για τον αριθμό e(X)). Για n = 1 και n = 2 αποδεικνύεται εύκολα. Για n = 3 έχει αποδειχθεί από τον Petty [9] και για n = 4 πρόσφατα από τον Makeev [5]. Για n ≥ 5 έχουμε τα κάτω φράγματα που μας δίνει το θεώρημα Brass και Dekster, το οποίο θα παρουσιάσουμε στο τρίτο κεφάλαιο αυτής της εργασίας. Η διάρθρωση της εργασίας έχει ως ακολούθως: Στο πρώτο κεφάλαιο παρου- σιάζεται η αρχική απόδειξη του θεωρήματος του Petty στο οποίο αναφερθήκαμε προηγουμένως [9]. Η απόδειξη αυτή χρησιμοποιεί το Λήμμα της μονοτονίας το οποίο παρουσιάζει γενικότερο ενδιαφέρον καθώς και ένα τοπολογικό επιχείρη- μα. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία εναλλακτική (πρόσφατη) απόδειξη του θεωρήματος του Petty η οποία οφείλεται στον Kobos [3]. Η απόδειξη αυ- τή (εδράζεται σε ιδέες ανάλογες με αυτές που χρησιμοποιεί ο Makeev για την απόδειξη του αποτελέσματός του [5] και) χρησιμοποιεί ένα ενδιαφέρον αποτέ- λεσμα των Kramer και Nemeth [4] το οποίο περιγράφει ικανές συνθήκες ώστε το ομοιόθετο ενός τριγώνου να εγγράφεται στο σύνορο ενός κυρτού σώματος. Το αντικείμενο του τρίτου κεφαλαίου είναι η απόδειξη του θεωρήματος των Brass και Dekster: Αν m είναι θετικός ακέραιος τότε κάθε χώρος με νόρ- μα αρκετά μεγάλης (πεπερασμένης) διάστασης περιέχει ένα ισόπλευρο σύνολο πλήθους m. Με περισσότερη ακρίβεια, αν dim X = n τότε e(X) ≥ c(log n) 1 3 , όπου c > 0 μία σταθερά. ΄Επεται εύκολα από αυτό το αποτέλεσμα ότι κάθε απει- ροδιάστατος χώρος με νόρμα περιέχει ισόπλευρα σύνολα οσονδήποτε μεγάλου (πεπερασμένου) πλήθους. Για την απόδειξη αυτού του σημαντικού αποτελέ- σματος χρησιμοποιούνται αποτελέσματα της θεωρίας Cayley-Menger (η οποία 1 ανήκει στην Γραμμική άλγεβρα), το θεώρημα Dvoretzky καθώς και το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer